مدل خودهمبسته میانگین متحرک

مدل AR با مرتبه p به صورت زیر است:

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,}$

که در آن ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}}$ پارامترهای مدل هستند. ${\displaystyle c}$ ثابت مدل و ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ خطای نویز سفید مدل است. گاهی ترم خطا برای سادگی توسط بعضی نویسندگان حذف می‌شود. برای ایستایی (مانایی) چنین مدلی به اعمال بعضی محدودیت‌ها بر پارامترها نیاز داریم. برای مثال مدل (AR(1 با ${\displaystyle |\varphi _{1}|\geq 1}$ ایستا نیست.

مدل MA با مرتبه q به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,}$

در این مدل، θ_۱,... , θ_q پارامترهای مدل هستند. μ امید ریاضی ${\displaystyle X_{t}}$ است (که اگر سری زمانی مرکزگیری شده باشد برابر صفر در نظر گرفته می‌شود). ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$، ${\displaystyle \varepsilon _{t-1}}$،... نیز ترم‌های خطای نویز سفید مدل است.

مدل(ARMA(p, q مدلی است با خودهمبستگی مرتبه‌ی p و میانگین متحرک مرتبه‌ی q، و شامل دو مدل ذکر شده در بالا می‌گردد:

${\displaystyle X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}.\,}$

به‌طور کلی فرض می‌شود مقادیر خطای ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$، مقادیری احتمالی با توزیع i.i.d یا independent identically-distributed هستند. و یک توزیع نرمال با میانگین صفر دارند که در آن σ^۲ واریانس خطاست.

در بعضی متون مدل‌های مذکور به کمک عملگر lag نشان داده می‌شوند. بر این اساس مدل AR از مرتبه P به صورت:

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi X_{t}\,}$

نشان داده شده و در آن ${\displaystyle \varphi =1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$ است.

مدل MA از مرتبه q نیز در این حالت می‌شود:

${\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta \varepsilon _{t},\,}$

که ${\displaystyle \theta =1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,}$ است.

و در نهایت مدل(ARMA(p, q را خواهیم داشت:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,,}$

که به توجه به تعاریف بالا می‌توان آن را به صورت ${\displaystyle \varphi X_{t}=\theta \varepsilon _{t}\,}$ بازنویسی کرد.

به‌طور کلی می‌توان به کمک روش حداقل مربعات یعنی با مینیمم کردن مقادیر خطای مدل، تخمینی از پارامترهای مدل ARMA به دست داد. برای یافتن مقادیر مناسب pوq در مدل (ARMA(p,q می‌توان از رسم نمودار توابع خود همبستگی نسبی(Partial Autocorrelation Function) برای p و رسم نمودار توابع خودهمبستگی (Autocorrelation Function) برای تخمین q، مدد جست. استفاده از ملاک AIC نیز برای تعیین مقادیر p,q توسط برخی محققان توصیه شده‌است.

مدل آرما زمانی مناسب است که سیستم تابعی از شوک‌های مشاهده ناپذیر باشد. برای مثال قیمت سهام که علاوه بر شوکهای اطلاعاتی در بازار تحت تأثیر شوک‌های رفتاری آحاد نیز هست.

وابستگی متغیر X_t به مقادیر پیشین خود و مقادیر خطای ε_t معمولاً اگر به‌طور خاص قید نگردیده باشد، خطی فرض می‌شود. اگر این وابستگی غیر خطی باشد. این مدل‌ها را nonlinear autoregressive moving average یا NARMA می‌خوانند. مدل‌های آرما صورت‌های عمومی تر دیگری نیز دارند. مانند مدل‌های autoregressive conditional heteroskedasticity یا ARCH و autoregressive integrated moving average یا ARIMA. اگر مطالعه روی سری‌های زمانی چندگانه باشد، یک مدل برداری آریما یا به عبارتی VARIMA خواهیم داشت. اگر سری‌های زمانی مذکور دارای حافظه بلندمدت باشند یک مدل بخشی (Fractional) آریما یا به عبارتی FARIMA مناسب خواهد بود. اگر داده‌ها دارای تأثیرات فصلی بود (seasonal effects) آنگاه مدل Seasonal ARIMA یاSARIMA را خواهیم داشت.

مدل دیگر مدل ARMAX است که در آن علاوه بر p ترم اتورگرسیو و q ترم moving average با b ترم سری زمانی برونزای ${\displaystyle d_{t}}$ نیز مواجهیم. مدل در واقع به صورت زیر است:

${\displaystyle X_{t}=\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}+\sum _{i=1}^{b}\eta _{i}d_{t-i}.\,}$

که در آن ${\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{b}}$ پارامترهای سری‌های برونزای ${\displaystyle d_{t}}$ هستند.

• ویکی‌پدیای انگلیسی