مدل خطی تعمیم‌یافته

مدل خطی تعمیم‌یافته (به انگلیسی: Generalized Linear Model) تعمیم رگرسیون خطی است برای داده‌هایی که توزیع نرمال ندارند. به عنوان مثال، پیش‌بینی تعداد خرابی، که کمیتی گسسته‌است، یا زمان انتظار، که کمیتی مثبت‌است، را می‌توان به کمک مدل خطی تعمیم‌یافته انجام داد. این مدل از سه جزء تشکیل‌یافته‌است:[1]

بخشی از مجموعه مباحث دربارهٔ آمار
تحلیل رگرسیون
مدل‌ها
رگرسیون خطی رگرسیون ساده خطی ‏(en)‏ رگرسیون چندجمله‌ای ‏(en)‏ رگرسیون چندمتغیره
مدل خطی تعمیم‌یافته انتخاب گسسته ‏(en)‏ رگرسیون لجستیک لوجیت چندجمله‌ای ‏(en)‏ لوجیت آمیخته ‏(en)‏ مدل پروبیت ‏(en)‏ پروبیت چندجمله‌ای ‏(en)‏ لوجیت مرتب ‏(en)‏ پروبیت مرتب ‏(en)‏ رگرسیون پواسون
مدل چندسطحی ‏(en)‏ مدل اثرهای ثابت ‏(en)‏ مدل اثرهای تصادفی ‏(en)‏ مدل آمیخته ‏(en)‏
رگرسیون غیرخطی ‏(en)‏ رگرسیون غیرپارامتریک ‏(en)‏ رگرسیون نیمه‌پارامتریک ‏(en)‏ رگرسیون باثبات رگرسیون چندک رگرسیون ایزوتونیک ‏(en)‏ رگرسیون مولفه اصلی رگرسیون کمترین زاویه رگرسیون موضعی ‏(en)‏ رگرسیون مقطع ‏(en)‏
مدل خطا در متغیرها ‏(en)‏
تخمین
کمترین مربعات کمترین مربعات خطی ‏(en)‏ کمترین مربعات غیرخطی ‏(en)‏
حداقل مربعات معمولی حداقل مربعات وزن‌دار ‏(en)‏ روش تعمیم‌یافته کمترین مربعات
رگرسیون پاره‌ای کمتری مربعات مجموع کمترین مربعات ‏(en)‏ کمترین مربعات نامنفی ‏(en)‏ تنظیم تیخونوف کمترین مربعات منظم ‏(en)‏
کمترین انحرافات مطلق ‏(en)‏ کمترین مربعات بازوزن‌داده مکرر ‏(en)‏ رگرسیون خطی بیزی رگرسیون چندمتغیره خطی بیزی
پیش‌زمینه
اعتبارسنجی مدل رگرسیون ‏(en)‏ پاسخ میانگین و پیش‌بینی‌شده ‏(en)‏ خطاها و باقی‌مانده‌ها در آمار ‏(en)‏ نیکویی برازش باقی‌مانده استودنت‌شده ‏(en)‏ قضیه گوس-مارکف
درگاه آمار

الف) توزیعی برای متغیر پاسخ ${\displaystyle \mathbf {y} }$، که معمولاً از خانواده نمایی با بیش‌پراکندگی ${\displaystyle d(\tau )}$ انتخاب می‌شود:

${\displaystyle f_{Y}(\mathbf {y} |{\boldsymbol {\theta }},\tau )=h(\mathbf {y} ,\tau )\exp {\left({\frac {\mathbf {b} ({\boldsymbol {\theta }})^{\rm {T}}\mathbf {T} (y)-A({\boldsymbol {\theta }})}{d(\tau )}}\right)}.\,\!}$

بیش‌پراکندگی برای مدل‌سازی واریانس‌های بالا و پایین به‌کار می‌رود.

ب) پیش‌بینی خطی براساس متغیر کنترل ${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}.\,}$

ج) تابع پیوند ${\displaystyle g}$ که یک تابع اکیداً یکنواست و دو مؤلفه بالا را به هم ارتباط می‌دهد:

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=g(\mathbb {E} [\mathbf {Y} ])=\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}.\,}$

مثال‌هایی از مدل خطی تعمیم‌یافته، رگرسیون لجستیک، دوجمله‌ای و پواسون است.