برآوردگر بیزی

فرض‌کنید می‌دانیم یک پارامتر نامعین θ، دارای احتمال پیشین ${\displaystyle \pi }$ است. همچنین ${\displaystyle {\widehat {\theta }}={\widehat {\theta }}(x)}$ یک برآوردگر θ (براساس متغیر x) و ${\displaystyle L(\theta ,{\widehat {\theta }})}$ تابع نامطلوبی مانند مربع خطا باشد. خطر بیزی ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ را به شکل ${\displaystyle E_{\pi }\{L(\theta ,{\widehat {\theta }})\}}$ تعریف می‌کنیم، که در آن، امید ریاضی با توزیع احتمال ${\displaystyle \theta }$، کنترل می‌شود: این تابع خطر را به عنوان تابعی از ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ توصیف می‌کند. برآوردگر ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ به شرطی یک برآوردگر بیزی است که خطر بیزی را در میان تمام برآوردگرها به حداقل برساند. به‌طور معادل، برآوردگری که زیان مورد انتظار پیشین ${\displaystyle E\{L(\theta ,{\widehat {\theta }})|x\}}$ را به ازای هر X به حداقل برساند، خطر بیزی و در نتیجه برآوردگر بیزی را نیز به حداقل خواهد رساند.[1]

• ترجمه از ویکی‌پدیا انگلیسی