تحلیل مؤلفه‌های اصلی

نتیجه میانگین تجربی، برداری است که به صورت زیر به دست می‌آید:

• ${\displaystyle u[m]={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{X[m,i]}}$

که به‌طور مشخص میانگین تجربی روی سطرهای ماتریس اعمال شده‌است.
سپس ماتریس فاصله تا میانگین به صورت زیر به دست می‌آید:

• ${\displaystyle B=X-uh}$
  

که h برداری با اندازه ${\displaystyle 1\times N}$ با مقدار ۱ در هرکدام از درایه‌ها است.

ماتریس کواریانس C با ابعاد ${\displaystyle M\times M}$ به صورت زیر به دست می‌آید:

• ${\displaystyle C=\mathbb {E} [B\otimes B]=\mathbb {E} [B\cdot B^{\ast }]={\frac {1}{N}}B\cdot B^{\ast }}$

  به‌طوری که:

  ${\displaystyle \mathbb {E} }$ میانگین حسابی است.

  ${\displaystyle \otimes }$ ضرب خارجی است.

  ${\displaystyle B^{\ast }}$ ماتریس ترانهاده مزدوج ماتریس ${\displaystyle B}$ است.

در این مرحله، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس کواریانس، ${\displaystyle C}$، به دست می‌آید.

• ${\displaystyle V^{-1}CV=D}$

V ماتریس بردارهای ویژه و D ماتریس قطری است که درایه‌های قطر آن مقادیر ویژه هستند. آنچنان که مشخص است، هر مقدار ویژه متناظر با یک بردار ویژه است. به این معنا که ماتریس V ماتریسی ${\displaystyle M\times M}$ است که ستون‌های آن بردارهای ویژه می‌باشند و بردار ویژه ${\displaystyle V_{q}}$ در ستون qام قرار دارد و مقدار ویژه qام یعنی درایهٔ ${\displaystyle \lambda _{q}=D_{q,q}}$ متناظر با آن است. بازچینی بردارهای ویژه بر اساس اندازهٔ مقادیر ویژه متناظر با آن‌ها صورت می‌گیرد. یعنی بر اساس ترتیب کاهشی مقادیر ویژه، بردارهای ویژه بازچینی می‌شوند. یعنی ${\displaystyle p\leq q\Rightarrow \lambda _{p}\leq \lambda _{q}}$

تحلیل مقادیر ویژه ماتریس کواریانس

انتخاب زیرمجموعه‌ای از بردارهای ویژه با تحلیل مقادیر ویژه صورت می‌گیرد. زیرمجموعه نهایی با توجه به بازچینی مرحله قبل به صورت ${\displaystyle V_{1}\dots V_{l}}$ انتخاب می‌شود. در اینجا می‌توان از انرژی تجمعی استفاده کرد که طبق آن

• ${\displaystyle g[m]=\sum _{q=1}^{m}{\lambda _{q}}}$

انتخاب l باید به صورتی باشد که حداقل مقدار ممکن را داشته باشد و در عین حال g مقدار قابل قبولی داشته باشد. به‌طور مثال می‌توان حداقل l را انتخاب کرد که

• ${\displaystyle g[m=l]\leq 90\%}$

بنابرین خواهیم داشت:

• ${\displaystyle W[p,q]=V[p,q],p=1\dots M,q=1\dots l}$

برای این کار ابتدا تبدیلات زیر انجام می‌گیرد: ماتریس ${\displaystyle s_{M,1}}$ انحراف معیار مجموعه داده‌است که می‌تواند به صورت زیر به دست بیاید:

• ${\displaystyle s[i]={\sqrt {C[i,i]}}}$

سپس داده به صورت زیر تبدیل می‌شود:

• ${\displaystyle Z={\frac {B}{s}}}$'

که ماتریسهای ${\displaystyle C}$ و ${\displaystyle B}$ در بالا توضیح داده شده‌اند. داده‌ها می‌توانند به ترتیب زیر به فضای جدید برده شوند:

• ${\displaystyle Y=W^{\ast }.Z}$