میدان تصادفی

با توجه به فضای احتمالاتی ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ یک فضای تصادفی X-ارزشی یک مجموعه از داده‌های تصادفی X-ارزشی است که در فضای توپولوژی T قرار گرفته‌اند پس فضای تصادفی F یک مجموعه است

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

که در آن هر ${\displaystyle F_{t}}$ یک متغیر تصادفی X-ارزشی است.

انواع مختلفی از میدان‌های تصادفی وجود دارند. به مانند میدان تصادفی مارکفی (MRF)، میدان تصادفی گیبس(GRF)، میدان تصادفی شرطی(CRF) و میدان تصادفی گوسی. نمایش MRF بدین صورت است:

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

برای هر کدام از مقادیر ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$و برای هر ${\displaystyle i}$، ${\displaystyle \partial _{i}}$ تعیین‌کننده مجموعه‌ای از «همسایه‌ها» از اشاره‌گر ${\displaystyle i}$. به عبارت دیگر مقدار یک متغیر تصادفی به همسایه‌هایش بستگی دارد. احتمال یک متغیر تصادفی در یک MRF به صورت زیر است:

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},}$

که در آن ω' یک زیر مجموعه از فضای پارامتر Ω است.

میدان‌های تصادفی استفاده بسیاری در پژوهش فرایندهای طبیعی به وسیله روش روش مونت کارلو دارند به صورتی که میدان‌های تصادفی به ویژگی‌های مختلفی از فضای طبیعی نزدیکند؛ به مانند نفوذپذیری خاک در مقیاس سطح یا مقاومت بتن در مقیاس سانتی‌متر. نوع دوم از میدان‌های تصادفی که در زنجیره نظریه‌ها به چشم می‌خورند؛ مقادیر وابسته هستند (حرارت، جابجایی، سرعت، شکل، چرخش بدن و سطح نیروهای استرس و …).

استفاده فراتر از میدان‌های تصادفی در نسل گرافیک کامپیوتری است. به خصوص آن‌هایی که قصد تقلید از سطوح طبیعی مانند شبیه‌سازی آب جاری و مدل رقومی ارتفاع را دارند.

• کوواریانس
• فرایند تصادفی

• Besag, J. E. "تعامل فضایی و تجزیه و تحلیل آماری از شبکه Systems", مجله انجمن سلطنتی آماری: سری B 36, 2 (مارس ۱۹۷۴), ۱۹۲–۲۳۶.
• Adler, RJ & Taylor, Jonathan (2007). Random Fields and Geometry. Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Khoshnevisan (2002). Multiparameter Processes - An Introduction to Random Fields. Springer. ISBN 0-387-95459-7.
• Ostoja-Starzewski, M.; Shen, L.; Malyarenko, A. (2013), "Tensor random fields in conductivity and classical or micropolar elasticity" (PDF), Mathematics & Mechanics of Solids, archived from the original (PDF) on 3 February 2014, retrieved 15 December 2016