فرایند گاوسی

یک فرایند گاوسی توزیع آماری X_t با t ∈ T است که برای هر تعداد متناهی ترکیب خطی از نمونه‌ها دارای یک توزیع مشترک گاوسی است. به‌طور دقیق تر، هر تابع خطی اعمال شده بر روی X_t یک توزیع شده گاوسی نتیجه می‌دهد. می‌توانیم بنویسیم (X ~ GP(m,K به معنی اینکه تابع تصادفی X دارای توزیع فرایند گاوسی با تابع میانگین m و تابع کوواریانس K است.[1]

برخی از نویسندگان[2] فرض می‌کنند که متغیرهای تصادفی X_t میانگین صفر را دارد؛ این کار باعث ساده‌سازی محاسبات بدون از دست دادن کلیت می‌شود.[3]

به عنوان تعریفی دیگر یک فرایند پیوسته در زمان گاوسی است اگر و تنها اگر برای هر مجموعه متناهی از شاخص‌های ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ در مجموعهٔ شاخص ${\displaystyle T}$

${\displaystyle X_{t_{1},\ldots ,t_{k}}=(\mathbf {X} _{t_{1}},\ldots ,\mathbf {X} _{t_{k}})}$

یک متغیر تصادفی گاوسی چند متغیره است.[4] با استفاده از تابع مشخصه ی متغیرهای تصادفی ویژگی گاوسی می‌تواند به شرح زیر بیان شود: ${\displaystyle \left\{X_{t};t\in T\right\}}$ گاوسی است اگر و تنها اگر برای هر مجموعه متناهی از شاخص‌های مقادیر حقیقی ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ که ${\displaystyle \sigma _{\ell j},\mu _{\ell }}$ (${\displaystyle \sigma _{jj}>0}$) وجود داشته باشد به طوری که معادله زیر برای همهٔ ${\displaystyle s_{1},s_{2},...s_{k}\in \mathbb {R} }$برقرار باشد:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\exp \left(i\ \sum _{\ell =1}^{k}s_{\ell }\ \mathbf {X} _{t_{\ell }}\right)\right)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\sum _{\ell ,j}\sigma _{\ell j}s_{\ell }s_{j}+i\sum _{\ell }\mu _{\ell }s_{\ell }\right).}$

که ${\displaystyle i}$ عدد موهومی ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ را نشان می‌دهد

${\displaystyle \sigma _{\ell j}}$ و ${\displaystyle \mu _{\ell }}$ به ترتیب بیانگر کوواریانس و میانگین متغیرهای تصادفی در فرایند است.[5]

یک ویژگی کلیدی در فرایندهای گاوسی این است که آن‌ها را می‌توان به صورت کامل با ممان مرتبه دومشان تعریف کرد.[6] بنابراین اگر فرض شود میانگین صفر است، با تعریف تابع کوواریانس به صورت کامل رفتار فرایند مشخص می‌شود.[7][8]

اگر فرایند ایستا باشد آن فقط به اختلاف، x' − x بستگی دارد ،در حالی که اگر غیر ایستا باشد آن بستگی به موقعیت واقعی نقاط x و 'x دارد. برای مثال حالت خاص فرایند Ornstein–Uhlenbeck، یعنی حرکت براونی ایستا است.

اگر فرایند تنها به |x' − x| بستگی داشته باشد، یعنی فاصله اقلیدسی بین x و 'x (بدون اهمیت جهت) ، فرایند همسانگرد محسوب می‌شود. یک فرایند است که هم ایستا و هم همسانگرد است همگن نامیده می‌شود؛[9]

توابع معمول که به عنوان کوواریانس استفاده می‌شود:

• ثابت:

${\displaystyle K_{\text{C}}(x,x')=C}$

• خطی:

${\displaystyle K_{\text{L}}(x,x')=x^{T}x'}$

• نویز گاوسی:

${\displaystyle K_{\text{GN}}(x,x')=\sigma ^{2}\delta _{x,x'}}$