همگرایی متغیرهای تصادفی

می‌گوییم دنباله تصادفی ${\displaystyle X_{n}}$ همه جا همگرا می‌شود اگر دنباله اعداد ${\displaystyle X_{n}(\zeta )}$ برای تمام ${\displaystyle \zeta }$ها (${\displaystyle \zeta \in \Omega }$) همگرا شونده باشد. این دنباله به یک عدد همگرا می‌شود که در حالت کلی وابسته به ${\displaystyle \zeta }$ می‌باشد. به بیان دیگر حد دنباله تصادفی ${\displaystyle X_{n}}$ یک متغیر تصادفی ${\displaystyle X}$ می‌باشد:

اگر مجموعه پیشامدهای ${\displaystyle \zeta }$ به طوری که ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\zeta )=X(\zeta )}$ وجود داشته باشد و احتمال متناظر با آن برابر ۱ باشد، در این صورت می‌گوییم دنباله ${\displaystyle X_{n}}$ تقریباً همه جا همگرا می‌شود (یا با احتمال ۱ همگرا می‌شود) و می‌نویسیم:

دنباله ${\displaystyle X_{n}}$ در معنای MS به متغیر تصادفی ${\displaystyle X}$ میل می‌کند اگر ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E\{|X_{n}-X|^{2}\}=0}$. یعنی امید مربع فاصله در بی‌نهایت صفر شود. به این حالت حد در میانگین (limit in the mean) گفته می‌شود و غالباً به صورت زیر نوشته می‌شود:

احتمال ${\displaystyle P\{|X-X_{n}|>\epsilon \}}$ مربوط به رویداد ${\displaystyle \{|X-X_{n}>\epsilon |\}}$ خود یک دنباله عددی است (بر اساس n) که به مقدار ${\displaystyle \epsilon }$ وابسته است. اگر این دنباله به ازای هر ${\displaystyle \epsilon >0}$ به ${\displaystyle 0}$ میل کند، یعنی:

می‌گوییم دنباله تصادفی ${\displaystyle X_{n}}$ به متغیر تصادفی ${\displaystyle X}$ در احتمال میل می‌کند. به این حالت همگرایی تصادفی (stochastic convergence) نیز گفته می‌شود.

به ترتیب با ${\displaystyle F_{n}(x)}$ و ${\displaystyle F(x)}$ توابع توزیع متغیرهای تصادفی ${\displaystyle X_{n}}$ و ${\displaystyle X}$ را نمایش می‌دهیم. اگر برای هر نقطه پیوستگی ${\displaystyle x}$ از ${\displaystyle F(x)}$ داشته باشیم:

سپس می‌گوییم دنباله ${\displaystyle X_{n}}$ در توزیع به متغیر تصادفی ${\displaystyle X}$ میل می‌کند. لازم است ذکر شود که در این حالت ممکن است دنباله ${\displaystyle X_{n}(\zeta )}$ به ازای هیچ ${\displaystyle \zeta }$ همگرا نشود.