نظریه تجدید

در فهم تفسیر بالا از زمان‌های نگهداری شده، به عنوان زمان بین خرابی‌های متوالی یک ماشین، پاداش های${\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }$ (که در این مورد به عنوان منفی بودن اتفاق افتاده است) به عنوان هزینه تعمیر متوالی و به عنوان نتایج خرابی‌های متوالی می‌باشد، بیان می‌شود. یک مقایسه جایگزین این است که، یک غاز جادویی داشته باشیم که بر روی تخم‌ها در بازه‌های توزیع شده مثل${\displaystyle S_{i}}$ (زمان‌های نگهداری شده) می‌خوابد، بعضی وقت‌ها بر روی تخم‌های طلایی با وزنهای تصادفی می‌خوابد و گاهی اوقات بر روی تخمهای سمی می‌خوابد (باوزن‌های تصادفی) که نیازمند درد معرض دید بودن (هزینه بربودن) می‌باشد. پاداشهای ${\displaystyle W_{i}}$، سودها یا ضررهای مالی ناشی از تخمهای متوالی می‌باشد و ${\displaystyle Y_{t}}$، مجموع مالی از پاداش‌ها در زمان ${\displaystyle t}$ را ثبت می‌کند.

تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند: ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}m(t)=1/\mathbb {E} [S_{1}].}$

در زیر شما متوجه می‌شوید که قانون قوی تعداد زیاد برای فرایندهای تجدید به ما می‌گویند که ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {X_{t}}{t}}={\frac {1}{\mathbb {E} [S_{1}]}}.}$ برای اثبات قضیه اولیه تجدید، سخت است که نشان دهیم ${\displaystyle \left\{{\frac {X_{t}}{t}};t\geq 0\right\}}$ به یک شکل قابل انتگرال‌گیری هستند. برای انجام این، تعدادی از فرایندهای کوتاه شدهٔ تجدید را در نظر بگیرید که زمان‌های نگهداری شده بوسیله ${\displaystyle {\overline {S_{n}}}=a\mathbb {I} \{S_{n}>a\}}$تعریف می‌شود که ${\displaystyle a}$ نقطه‌ای است که ${\displaystyle 0<F(a)=p<1}$که برای هر فرایند تجدید تا معین، وجود دارد ${\displaystyle {\overline {X_{t}}}}$ یک حد بالایی روی ${\displaystyle X_{t}}$ است و تجدیدهای آن فقط در شبکه ${\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}}$ اتفاق می‌افتد. علاوه بر این، تعداد تجدیدها در هر زمان تصاعد هندسی با پارامتر ${\displaystyle p}$ است، بنابراین داریم: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X_{t}}}&\leq \sum _{i=1}^{[at]}\mathrm {Geometric} (p)\\\mathbb {E} \left[\,{\overline {X_{t}}}\,\right]^{2}&\leq C_{1}t+C_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {E\left[X_{t}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {E\left[{\overline {X_{t}}}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{aligned}}}$

تابع پاداش را به صورت زیر تعریف کرده‌ایم: ${\displaystyle g(t)=\mathbb {E} [Y_{t}].\,}$ تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند: ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}g(t)={\frac {\mathbb {E} [W_{1}]}{\mathbb {E} [S_{1}]}}.}$

تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:${\displaystyle m(t)=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds}$ به‌طوری‌که ${\displaystyle F_{S}}$ تابع توزیع عمومی ${\displaystyle S_{1}}$ است و ${\displaystyle f_{S}}$ تابع چگالی احتمال متناظر است.

ممکن است مجدداً انتظار اولین زمان نگهداری شده را بازگو کنیم: ${\displaystyle m(t)=\mathbb {E} [X_{t}]=\mathbb {E} [\mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1})].\,}$ ولی به وسیلهٔ مشخصه مارکوف داریم: ${\displaystyle \mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)=\mathbb {I} _{\{t\geq s\}}\left(1+\mathbb {E} [X_{t-s}]\right).\,}$ بنابراین ${\displaystyle {\begin{aligned}m(t)&{}=\mathbb {E} [X_{t}]\\[12pt]&{}=\mathbb {E} [\mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1})]\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{t\geq s\}}\left(1+\mathbb {E} [X_{t-s}]\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{t}\left(1+m(t-s)\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds,\end{aligned}}}$

مشخصه‌های مجانبی ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$ و ${\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}$ در رابطه زیر صدق می‌کند: (قانون قوی تعداد فراوان برای فرایندهای تجدید)${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\mathbb {E} S_{1}}}}$ ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\mathbb {E} S_{1}}}\mathbb {E} W_{1}}$ (قانون قوی تعداد فراوان برای فرایندهای تجدید)

ابتدا در نظر بگیرید ${\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}$، با تعریفی که ما داریم: ${\displaystyle J_{X_{t}}\leq t\leq J_{X_{t}+1}}$ برای همه ${\displaystyle t\geq 0}$ داریم ${\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}\leq {\frac {t}{X_{t}}}\leq {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}}$ و همچنین چون ${\displaystyle 0<\mathbb {E} S_{i}<\infty }$، داریم: ${\displaystyle X_{t}\to \infty }$

ویژگی عجیب فرایندهای تجدید این است که ما در بعضی از زمان‌های از قبل مشخص شده t صبر می‌کنیم و سپس مشاهده می‌کنیم که بازه تجدید شامل t چه اندازه است، ما باید انتظار داشته باشیم که بزرگتر از سایز بازه میانگین باشد. قیاس ضد و نقیض به صورت ریاضی این‌گونه بیان می‌شود: برای هر t>0، بازه تجدید شامل t، به صورت اتفاقی بزرگتر از بازه تجدید اولیه است؛ که برای همه x>0 و همه t>0: ${\displaystyle \mathbb {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \mathbb {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}$ که F_S تابع توزیع عمومی IID از زمان‌های نگهداری شده S_i است.

روی هم قرار دادن فرایندهای تجدید مستقل، عموماً یک فرایند تجدید نیست، تابع توزیع عمومی از رخدادهای داخلی زمان در فرایند برهم نهی به وسیله فرمول زیر داده می‌شود: ${\displaystyle >R(t)=\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{K}}{\sum _{k=1}^{K}\alpha _{K}}}R_{k}(t)\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }R_{j}(u){\text{d}}u}$ به‌طوری کهR وCDF رخدادهای داخلی زمان هستند و نرخ ورودی فرایندها Kاست.