فرایند لوی

یک فرایند تصادفی ${\displaystyle X=\{X_{t}:t\geq 0\}}$ یک فرایند لوی، نامیده می‌شود اگر خواص زیر را داشته باشد:

1. ${\displaystyle X_{0}=0\,}$
2. ${\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty }$, ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}}$ مستقل هستند.
3. افزایش ایستا : برای هر ${\displaystyle s<t\,}$, ${\displaystyle X_{t}-X_{s}\,}$ توزیع یکسانی با ${\displaystyle X_{t-s}.\,}$
4. پیوستگی احتمال: برای هر ${\displaystyle \epsilon >0}$ و ${\displaystyle t\geq 0}$ عبارت روبرو برقرار است. ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\epsilon )=0}$

اگر ${\displaystyle X}$ یک فرایند لوی باشد آنگاه ممکن است یک نمونه از ${\displaystyle X}$ ساخته شود به نحوی که ${\displaystyle t\mapsto X_{t}}$ است به صورت قریب به یقین، پیوسته از راست با حد چپ باشد.

توزیع یک فرایند لوی توسط تابع مشخصه آن، که فرمول توسط فرمول لوی–خینشین (به صورت عمومی برای تمام توزیع‌های بی‌نهایت تقسیم‌پذیر) مشخص می‌شود:[1] اگر ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$ یک فرایند لوی باشد، آنگاه تابع مشخصه ${\displaystyle \phi _{X}(\theta )}$ به فرم زیر است:

${\displaystyle \phi _{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} {\Big [}e^{i\theta X(t)}{\Big ]}=\exp {\Bigg (}t(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int _{\mathbb {R} \backslash \{0\}}{\big (}e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {I} _{|x|<1}{\big )}\,\Pi (dx)){\Bigg )}}$

که در آن ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$، ${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ تابع مشخصه و ${\displaystyle \Pi }$ یک معیار سیگما-محدود به نام معیار لوی از ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} \backslash \{0\}}1\wedge x^{2}\Pi (dx)<\infty .}$

یک فرایند لوی می‌تواند با داشتن سه جزء مستقل مشخص شود: یک رانش خطی، یک حرکت براونی و یک برهم نهی مستقل (محور) از فرایندهای پواسون با اندازه پرش متفاوت؛ ${\displaystyle \Pi (dx)}$ نشان دهنده میزان ورود (شدت) از فرایند پواسون با سایز پرش از اندازه ${\displaystyle x}$. این سه مؤلفه و در نتیجه نمایش لوی–خین‌شین به‌طور کامل توسط سه‌تایی لوی–خین‌شین ${\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}$. به صورت ویژه، تنها فرایند پیوسته لوی (غیرقطعی)، حرکت براونی با رانش است.

هر فرایند لوی ممکن است به مجموع یک حرکت براونی، یک رانش خطی و فرایند پرش خالص که تمامی پرش‌ها را با فرایند لوی خالص داده شده‌است، تجزیه شود. عبارت آخر را می‌توان به عنوان یک برهم نهی از ترکیب فرایندهای پواسون مرکزی بررسی کرد. نتیجه به عنوان تجزیه لوی–ایتو شناخته می‌شود. .

با توجه به سه‌گانه لوی ${\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}$ سه فرایند مستقل لوی وجود دارند که در همان احتمال فضا ${\displaystyle X^{(1)}}$ با ${\displaystyle X^{(2)}}$ با ${\displaystyle X^{(3)}}$ قرار دارند. به این ترتیب که:

• ${\displaystyle X^{(1)}}$ یک حرکت براونی با رانش است که مرتبط با قسمت کاملاً پیوسته یک معیار است که رانش a و انتشار ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle X^{(2)}}$ یک فرایند ترکیبی پواسون، مرتبط با بخش خالص بخشی از معیار تکینW است;
• ${\displaystyle X^{(3)}}$ یک مربع انتگرال‌پذیر خالص پرش است که به صورت قریب به یقین تعداد جهش شمارا در بازه زمانی محدود، مربوط به قسمت تکین پیوستهٔ معیار تکین W است.

فرایند تعریف شده با ${\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}}$ یک فرایند لوی با سه‌تایی روبرو است. ${\displaystyle (a,\sigma ^{2},\Pi )}$.

فرایند ${\displaystyle X^{(3)}}$ می‌تواند به عنوان جمع دو فرایند مستقل زیر مشخص شود. یک فرایندهای خالص پرش با میانگین صفر با شرط جهش کمتر از ${\displaystyle 1}$ در مقدار مطلق و یک ترکیب فرایند پواسون که جهش‌های با قدر مطلق بزرگتر از یک را توصیف می‌کند.

• متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان
• حرکت براونی
• فرایند پواسون
• فرایند مارکف

• Applebaum, David (December 2004). "Lévy Processes—From Probability to Finance and Quantum Groups" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. Providence, RI: American Mathematical Society. 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477.
• Cont, Rama; Tankov, Peter (2003). Financial Modeling with Jump Processes. CRC Press. ISBN 978-1-58488-413-2..
• Sato, Ken-Iti (2011). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55302-5..