مدل واسیچک

این مدل نشان می‌دهد که نرخ بهره آنی پیرو معادله دیفرانسیل تصادفی می‌باشد.

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

که wt فرایند وینر تحت ریسک مستقل از چارچوب مدل سازی در عامل ریسک بازار به صورت تصادفی است، چرا که جریان مستمر اعداد تصادفی در سیستم را مدل‌سازی می‌کند. پارامتر انحراف استاندارد σ، نوسانات نرخ بهره را تعیین می‌کند و تا اندازه‌ای نوسانات جریان تصادفی آنی را مشخص می‌کند. پارامترهای نوع a ،b وσ همراه با شرایط اولیه ro، به‌طور کامل دینامیک را مشخص می‌کند، و با غیرمنفی فرض کردن a، به صورت زیر مشخص می‌شود b :"میانگین میزان بلند مدت": تمام منحنی‌های بعدی r پیرامون میانگین میزان b در درازمدت خواهد بود. a:" سرعت بازگشت":a سرعتی را مشخص می‌کند که در آن منحنی‌ها پیرامون b جمع می‌گردند. σ: "نوسانات آنی (لحظه‌ای)"، دامنهٔ اعداد تصادفی ورودی به سیستم را لحظه به لحظه اندازه‌گیری می‌کند. هر چه σ بیشتر باشد اعداد تصادفی بیشتر خواهد بود. مقدار مشتق شدهٔ زیر نیز مورد توجه است

• ${\displaystyle {\sigma ^{2}}/(2a)}$: واریانس بلند مدت: تمام منحنی‌های بعدیِ r اطراف میانگین بلند مدت با چنین واریانسی در طول زمان جمع خواهند شد.

aوσ مخالف یکدیگرند: افزایش σ، میزان اعداد تصادفی ورودی به سیستم را افزایش می‌دهد، اما در عین حال افزایش a باعث افزایش سرعت می‌شود که در آن سیستم به صورت آماری در میانگین بلند مدت با واریانسِ تعیین شده توسط a، ثابت خواهد شد؛ که با مشاهدهٔ واریانس بلند مدت این موضوع روشن خواهد شد.

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2a}}}$

که در آن افزایش با σ، وکاهش با a می‌باشد. این یک مدل فرایند تصادفی از Ornstein–Uhlenbeck است. ایجاد میانگین تصادفی در SDE، یک نسخهٔ ساده شده از cointelation SDE است[2].

اولین مدلی که بازگشت به میانگین را تسخیر می‌کند مدل vasicek بود. یکی از ویژگی‌های اساسی نرخ بهره جدا بودن مجموعه آن از سایر قیمت‌های مالی است؛ بنابراین بر خلاف قیمت‌های سهام که می‌تواند به‌طور نامحدود افزایش یابند، نرخ‌های بهره به‌طور نامحدود نمی‌توانند افزایش یابد. به خاطر این است که سطح بالای آن مانع فعالیت‌های اقتصادی و باعث کاهش نرخ بهره می‌شود. مثلاً نرخ‌های بهره معمولاً نمی‌توانند کمتر از صفر شوند. در نتیجه تغییرات نرخ‌های بهره دردامنه محدود، تمایل به بازگشت ارزش بلند مدت را نشان می‌دهد. عامل انحراف ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ نشان دهنده انتظار تغییرات آنی درنرخ بهره در زمانt. پارامتر b بازگشت نرخ بهره به سمت ارزش تعادلی بلندمدت را نشان می‌دهد. در واقع در صورت عدم وجود شوک(${\displaystyle dW_{t}=0}$)، نرخ بهره ثابت باقی می‌ماند زمانی که rt = b. پارامتر a، نماینده سرعت تعدیل، باید مثبت باشد تا ثبات در ارزش بلند مدت را تضمین کند، برای مثال وقتی rt کمتراز b است، بخش انحراف ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ مثبت می‌شود به خاطر مثبت بودن a، ایجاد یک تمایل تغییرات نرخ بهره رو به بالا (به سمت بالا) ضعف اصلی این است که، تحت مدل vasicek، از لحاظ نظری ممکن است نرخ بهره برای تبدیل شدن به منفی، یک ویژگی نامطلوب تحت مفرضات قبل از بحران باشد. این کمبود در مدل Cox–Ingersoll–Ross model، مدل Vasicek نمایی، مدل Black–Derman–Toy model و مدل Black–Karasinski model، در میان بسیاری دیگر ثابت شد. مدل vasicek بیشتر تعمیم داده شده در مدل Hull–White model. مدل vasicek همچنین یک مدل متعارف از مدل affine term structure model، همراه با مدل Cox–Ingersoll–Ross model است.

برای بدست آوردن معادله دیفرانسیل تصادفی باید فرمول زیر را حل کنیم.

${\displaystyle r(t)=r(0)e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!}$

با استفاده از تکنینک‌های مشابه به عنوان مثال با اعمال فرایند تصادفی Ornstein–Uhlenbeck ما در می‌یابیم که متغیر حالت با میانگین و واریانس نرمالی توزیع شده‌است. میانگین

${\displaystyle \mathrm {E} [r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$

واریانس

${\displaystyle \mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).}$

و به تبع آن ما داریم،

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {E} [r_{t}]=b}$

و

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.}$