آزمایش برنولی

فرایند برنولی یک فرایند تصادفی با زمان گسسته شامل دنباله‌ای شمارا یا ناشمار از متغیرهای تصادفی با احتمال‌های مستقل از هم می‌باشد. متغیرهایی مثل ... ,X_۱, X_۲, X_۳ بطوری که:

• به ازای هر i مقدار X_i یا ۰ است یا ۱.
• برای تمام مقادیر i، احتمال آنکهX_i = ۱ برابر p است.

استقلال آزمایش‌های برنولی بر خصوصیت بی‌حافظگی دلالت می‌کند: آزمایش‌های گذشته هیچ اطلاعاتی در مورد برآمدهای آینده در اختیار نمی‌گذارند.

آزمایش‌های بعدی نیز همچنین یک فرایند برنولی هستند که مستقل از گذشته می‌باشند. (خاصیت شروع تازه)

متغیرهای تصادفی مربوط به فرایند برنولی در برگیرندهٔ موارد زیر می‌باشند:

• تعداد موفقیت‌ها در n آزمایش اول، که این یک توزیع دو جمله‌ای است.
• تعداد آزمایش‌های لازم برای بدست آوردن r موفقیت؛ که این یک توزیع دو جمله‌ای سلبی است.
• تعداد آزمایش‌های لازم برای بدست آوردن یک موفقیت. این یک توزیع هندسی است که حالت خاصی از توزیع دوجمله‌ای سلبی است

تعمیم فرایند برنولی به بیش از ۲ برآمد ممکن، رویهٔ برنولی نام دارد.

توزیع احتمال برنولی

فراسنجه‌ها	${\displaystyle 1>p>0,p\in \mathbb {R} }$
تکیه‌گاه	${\displaystyle k=\{0,1\}\,}$
تابع جرم احتمال	${\displaystyle {\begin{matrix}q=(1-p)&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}}$
تابع توزیع تجمعی	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}}$
میانگین	${\displaystyle p\,}$
میانه	N/A
مُد	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}}$
واریانس	${\displaystyle pq\,}$
چولگی	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}$
کشیدگی	${\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}$
آنتروپی	${\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,}$
تابع مولد گشتاور	${\displaystyle q+pe^{t}\,}$
تابع مشخصه	${\displaystyle q+pe^{it}\,}$

در تئوری آمار و احتمالات ،توزیع برنولی، که به افتخار دانشمند سوئیسی jacob bernoulli نام گذاری شده‌است، یک توزیع با احتمال گسسته است که مقدار ۱ را با احتمال موفقیت p و ۰ را با احتمال شکست ${\displaystyle q=1-p}$ می‌گیرد. پس اگر X یک متغیر تصادفی با این توزیع باشد، داریم:

${\displaystyle \Pr(X=1)=1-\Pr(X=0)=1-q=p.\!}$

تابع تودهٔ احتمال f برای این توزیع

${\displaystyle f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{if }}k=1,\\1-p&{\mbox{if }}k=0,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$

است.

امید ریاضی متغیر تصادفی برنولی X ${\displaystyle E\left(X\right)=p}$، و واریانس آن

${\displaystyle {\textrm {var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,}$

درجه اوج نمودار آماری به ازای مقادیر زیاد و مقادیر کم p به سمت بینهایت می‌رود، ولی برای ${\displaystyle p=1/2}$ توزیع برنولی دارای کمترین درجهٔ اوج در نمودار آماری توزیع احتمال است.

در تئوری آمار و احتمالات، توزیع دو جمله‌ای، توزیعی با احتمال گسسته از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای n تایی از آزمایش‌های برد و باخت مستقل، با احتمال موفقیت P است. این آزمایش‌های برد و باخت همان آزمایش‌های برنولی است. در حقیقت وقتی ${\displaystyle n=1}$ توزیع دو جمله‌ای همان توزیع برنولی است. توزیع دو جمله‌ای اساس آزمایش دو جمله‌ای می‌باشد.

در تئوری آمار و احتمالات، توزیع دو جمله‌ای سلبی، توزیعی با احتمال گسسته‌است. توزیع پاسکال و توزیع پولیا حالت‌های خاص دوجمله‌ای سلبی هستند.

در تئوری آمار و احتمالات، توزیع هندسی یکی از دو توزیع با احتمال گسستهٔ زیر است:

• توزیع احتمال تعداد آزمایش‌های برنولی لازم(X) برای رخ دادن یک پیروزی
• توزیع احتمال تعداد شکست‌ها (${\displaystyle Y=X-1}$) قبل از وقوع اولین پیروزی

• فرایند برنولی
• نمونه سازی برنولی
• انداختن سکه