برآوردگر بی‌بایاس حداقل واریانس

تخمین ${\displaystyle g(\theta )}$ را بر اساس داده‌های ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ از برخی اعضای خانواده چگالی‌های ${\displaystyle p_{\theta },\theta \in \Omega }$ در نظر بگیرید، که در آن ${\displaystyle \Omega }$ پارامتر فضا است. یک برآوردگر میانگین‌نااریب ${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ از ${\displaystyle g(\theta )}$ «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» است، اگر ${\displaystyle \forall \theta \in \Omega }$.

${\displaystyle \mathrm {var} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))\leq \mathrm {var} ({\tilde {\delta }}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))}$

برای هر برآوردگر میانگین‌نااریب دیگر ${\displaystyle {\tilde {\delta }}.}$ اگر یک برآوردگر میانگین‌نااریب ${\displaystyle g(\theta )}$ وجود داشته باشد، می‌توان اثبات کرد که یک برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت واحد وجود دارد. قضیه راو-بلکول نیز می‌تواند ثابت کند که تعیین «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» تنها نیاز به یافتن یک کامل بودن آماره برای خانواه ${\displaystyle p_{\theta },\theta \in \Omega }$ و چگونگی هر برآوردگر میانگین‌نااریب دارد.

بعداً، با استفاده از قضیه لمن-شفه، در یک برآوردگر میانگین‌نااریب که تابعی از یک کامل است، آماره کافی «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» می‌باشد.

به‌طور رسمی، فرض‌کنید ${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ برای ${\displaystyle g(\theta )}$ میانگین‌نااریب و ${\displaystyle T}$ نیز یک آماره کامل کافی برای خانواده چگالی‌ها باشد. سپس

${\displaystyle \eta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\mathrm {E} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})|T)\,}$

برای ${\displaystyle g(\theta ).}$ «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» است.