عملگر تکانه زاویه‌ای

عملگر تکانه زاویه‌ای یک عملگر برداری است، یعنی می‌توان آن را بر حسب مؤلفه‌های برداری اش ${\displaystyle \mathbf {L} =(L_{x},L_{y},L_{z})}$ بیان کرد. رابطه جابجایی زیر میان مؤلفه‌ها برقرار است:[2]

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},}$

که [ , ] علامت جابجاگر است

${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$

می‌توان آنرا به‌طور کلی به این صورت نشان داد

${\displaystyle [L_{l},L_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n}}$،

که l, m, n اندیس‌های مؤلفه‌ها هستند (1 برای x, 2 برای y, 3 برای z), و ε_lmn نشان‌دهنده نماد لوی‌چیتا است.

عبارت فشرده‌تری به شکل یک معادله برداری نیز امکانپذیر است : [3]

${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$

روابط جابه‌جایی را می‌توان به عنوان نتیجه مستقیم روابط جابجایی متعارف ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$، اثبات نمود که δ_lm دلتای کرونکر است.

رابطه مشابهی در فیزیک کلاسیک وجود دارد: [4]

${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}\!}$

که L_n مؤلفه‌ای از عملگر تکانه زاویه‌ای کلاسیک است و ${\displaystyle \{,\}}$ کروشه پواسون است.

روابط جابجایی مشابهی نیز در مورد سایر عملگرهای تکانه زاویه‌ای (اسپین و تکانه زاویه‌ای کل) برقرار است:[5]

${\displaystyle [S_{l},S_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad [J_{l},J_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}}$.

این روابط جابجایی بدین معنا هستند که L دارای ساختار ریاضی جبر لی است. در این مورد جبر لی (2)SU یا (3)SO، گروه چرخشی در سه بعد است. همین وضعیت در مورد J و S نیز صادق است. این روابط جابجایی در اندازه‌گیری و عدم قطعیت کاربرد دارند.

مانند هر بردار دیگری، اندازه عملگر تکانه زاویه‌ای مداری به شکل زیر تعریف می‌شود،

${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$ .

L² یک عملگر کوانتومی دیگر است. با مؤلفه‌های L جابه‌جا می‌شود,

${\displaystyle [L^{2},L_{x}]=[L^{2},L_{y}]=[L^{2},L_{z}]=0~.\,}$

یک راه برای اثبات اینکه این عملگرها جابه‌جا می‌شوند این است که از رابطه‌های جابه‌جایی [L_ℓ, L_m] در بخش قبل استفاده کنیم:

روی[نمایش] در سمت راست کلیک کنید تا اثباتی برای رابطه‌های جابه‌جایی [L2, Lx] = 0, sبا شروع از [Lℓ, Lm] [6]
${\displaystyle [L^{2},L_{x}]=[L_{x}^{2},L_{x}]+[L_{y}^{2},L_{x}]+[L_{z}^{2},L_{x}]}$ ${\displaystyle =L_{y}[L_{y},L_{x}]+[L_{y},L_{x}]L_{y}+L_{z}[L_{z},L_{x}]+[L_{z},L_{x}]L_{z}}$ ${\displaystyle =L_{y}(-i\hbar L_{z})+(-i\hbar L_{z})L_{y}+L_{z}(i\hbar L_{y})+(i\hbar L_{y})L_{z}}$ ${\displaystyle =0}$

از نظر ریاضی، L² ناوردای کاسیمیر از جبر لی (so(3 است که توسط L ایجاد می‌شود.

در موارد کلاسیک، L تکانه زاویه‌ای مداری کلا سامانه ذرات، n بردار واحد در امتداد یکی از محورهای دکارتی است و همچنین شبه‌جابه‌جایی براکت پواسون L را با هر یک از مؤلفه‌های دکارتی‌اش داریم:[7]

${\displaystyle [\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ,\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} ]=[L^{2},\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} ]=0~,}$

که n یکی از یه مؤلفه دکارتی L است

در مکانیک کوانتومی همان روابط جابه‌جایی در مورد عملگرهای تکانه زاویه‌ای دیگر (اسپین و تکانه زاویه‌ای کل) نیز برقرار است،

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}S^{2},S_{i}]&=0,\\{[}J^{2},J_{i}]&=0.\end{aligned}}}$

به‌طور کلی در مکانیک کوانتومی وقتی دو عملگر مشاهده‌پذیر، قابل جابه‌جایی نباشند به آنها مشاهده‌پذیرهای ناسازگار گفته می‌شود. دو مشاهده‌پذیر ناسازگار را نمی‌توان همزمان با هم اندازه گرفت؛ بلکه در عوض آنها از اصل عدم قطعیت پیروی می‌کنند. هرچه یکی از این مشاهده‌پذیرها، دقیق‌تر شناخته‌شود، دیگری با دقت کمتری قابل شناخت خواهد بود. همانطور که در یک اصل عدم قطعیت، مکان و تکانه به هم مرتبط می‌شوند، برای تکانه زاویه‌ای نیز اصل عدم قطعیتی وجود دارد.

اصل عدم قطعیت زیر از معادله رابرتسون-شرودینگر حاصل می‌شود:

${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$

که ${\displaystyle \sigma _{X}}$ انحراف معیار استاندارد در مقادیر اندازه‌گیری‌شده برای X و ${\displaystyle \langle X\rangle }$ مقدار چشم‌داشتی X را نشان می‌دهد. این نابرابری در صورتی جاهای x,y،z عوض شود، یا L با J یا S جایگزین شود، نیز برقرار است.

بنابراین، دو مؤلفه قطری تکانه زاویه‌ای را نمی‌توان همزمان دانست یا اندازه‌گیری نمود مگر در موارد خاص مانند ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$.

هرچند که می‌توان L² و هریک از مؤلفه‌های L را به‌طور همزمان اندازه‌گیری یا تعیین نمود؛ مثلاً، L² و L_z. این اغلب مفید واقع می‌شود مقادیر آن توسط عدد کوانتومی سمتی وعدد کوانتومی مغناطیسی مشخص می‌شود.