موج مادی

روابط لویی دوبروی مرتبط طول موج λ و تکانه p، و بسامد f و انرژی جنبشی E (به استثنای انرژی سکون و هرگونه انرژی پتانسیل) برای یک ذره به صورت زیر است:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =h/p\\\end{aligned}}}$

که h ثابت پلانک است. معادلات را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت:

${\displaystyle {\begin{aligned}&p=\hbar k\\\end{aligned}}}$

که در آن

• ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$ ثابت کاهیده پلانک ,
• ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ عدد موج(به بیان بهتر بردار موج زیرا عدد موج مضربی از [طول موج / 1] است)
• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ بسامد زاویه‌ای است.

تکانه در نسبیت خاص از رابطه زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle p=\gamma m_{0}v}$

که می‌توانیم روابط را به صورت زیر بنویسم[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {h}{\gamma m_{0}v}}={\frac {h}{m_{0}v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}\end{aligned}}}$

که m₀ جرم سکون است، v سرعت برداری ذره، γ فاکتور لورتنز، و c سرعت نور در خلا می‌باشد. سرعت گروه را ببینید که در اینجا در واقع سرعت همان ذره است و نباید سرعت فاز (ضرب فرکانس و طول موج ذره) اشتباه شود.