معادله پائولی

برای یک ذره با جرم m و بار الکتریکی q در میدان الکترومغناطیسی توصیف‌شده با پتانسیل برداری

${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y},A_{z})\ \ }$

و پتانسیل اسکالر الکتریکی ϕ، این معادله می‌شود:

معادله پائولی (حالت کلی) ${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

که در آن

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})\ \ }$

یک بردار سه‌مولفه‌ای از ماتریس‌های پاولی است، یعنی هر مؤلفه آن یک ماتریس پاولی است؛

${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla =-i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\ \ }$

بردار سه‌مولفه‌ای عملگر تکانه است و ∇ عملگر گرادیان است و

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}}$

اسپینور دومولفه‌ای تابع موج است، یک بردار ستونی که با نمادگذاری دیراک نوشته شده‌است. به‌طور صریح‌تر می‌توان معادله پاولی را چنین نوشت:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left(\sum _{n=1}^{3}\left(\sigma _{n}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-qA_{n}\right)\right)\right)^{2}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}=i\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {\displaystyle \partial \psi _{0}}{\displaystyle \partial t}}\\[6pt]{\frac {\displaystyle \partial \psi _{1}}{\displaystyle \partial t}}\end{pmatrix}}.}$

که هامیلتونی در آن، به خاطر وجود ماتریس‌های ${\displaystyle \sigma }$ پاولی، یک عملگر ماتریسی ۲ × ۲ است .

معادله پائولی غیرنسبیتی است، اما وجود اسپین را پیش‌بینی می‌کند. بنابراین جایگاهی بین معادله شرودینگر و معادله دیراک دارد:

• معادله شرودینگر غیرنسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی نمی‌کند.
• معادله دیراک کاملاً نسبیتی است و اسپین را هم پیش‌بینی می‌کند.

توجه کنید که به خاطر خواص ماتریس‌های پاولی، اگر بردار ${\displaystyle \mathbf {A} }$ صفر گردد، معادله به همان معادله شرودینگر برای ذره در پتانسیل اسکالر ϕ تبدیل می‌شود.

در حضور میدان مغناطیسی خارجی معادله پاولی می‌شود:

معادله پاولی (میدان مغناطیسی) ${\displaystyle \underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\varphi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}\mathbf {|} \varphi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \mathbf {|} \varphi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern Gerlach term}}}$

که در آن

${\displaystyle |\varphi _{\pm }\rangle ={\begin{pmatrix}|\varphi _{+}\rangle \\|\varphi _{-}\rangle \end{pmatrix}}}$,

مولفه‌های اسپینور پاولی هستند. B میدان مغناطیسی خارجی است و

${\displaystyle {\hat {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$

ماتریس همانی است که به عنوان عملگر همانی عمل می‌کند.

• کره بلوخ
• ماتریس‌های پائولی