توزیع یکنواخت پیوسته

تابع تابع چگالی احتمال یک توزیع یکنواخت پیوسته چنین می‌باشد.

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ \mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b,\end{matrix}}\right.}$

مقدار ${\displaystyle f(x)}$ در کران معمولاً مهم نیست، زیرا مقدار انتگرال ${\displaystyle f(x)dx}$ در هر فاصله‌ای بدون تغییر (ثابت) می‌ماند؛ و نه ${\displaystyle xf(x)dx}$ و نه هر مرتبه بالاتری. بسته به مکان متغیر ${\displaystyle x}$ گاهی مقدار تابع صفر و گاهی ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}}$. در حالت دوم در زمینه برآورد به روش حداکثر احتمال مناسب است. در آنالیز فوریه، یکی ممکن است مقدار ${\displaystyle f(a)}$ یا ${\displaystyle f(b)}$ که ${\displaystyle {\frac {1}{2(b-a)}}}$ باشد را بردارد. تبدیل معکوس بسیاری از تبدیل‌های انتگرالی این تابع یکنواخت به شکل خودش است. (به عبارتی تصویر خودش است)

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}\quad &{\text{for}}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

تابع توزیع تجمعی چنین:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{cases}}}$

است؛ و همچنین معکوس آن

${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\quad for\quad 0\leq p\leq 1}$

این چنین است. با نماد میانگین σ و واریانس μ شکل تابع توزیع تجمعی چنین است.

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{for }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}}\\1&{\text{for }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}}\end{cases}}}$

که در چنین حالتی معکوس آن چنین نمایشی دارد.

                                                         ${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \quad {\text{for}}\quad 0\leq p\leq 1}$

هر گاه ${\displaystyle a=0}$ و ${\displaystyle b=1}$ باشد، آنگاه توزیع یکنواخت پیوسته را توزیع یکنواخت پیوسته استاندارد گویند.

• page 32 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross