توزیع لوی

تابع چگالی احتمال توزیع لوی در دامنه ${\displaystyle x\geq \mu }$ برابر است با:

در اینجا ${\displaystyle \mu }$ پارامتر مکان و ${\displaystyle c}$ پارامتر مقیاس است. تابع توزیع تجمعی توزیع برابر است با:

در اینجا ${\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}$ تابع خطای مکمل است. پارامتر تغییر مکانِ ${\displaystyle \mu }$ کل منحنی را به سمت راست به اندازه ${\displaystyle \mu }$ منتقل می‌کند. مانند تمام توزیع‌های پایدار، توزیع لِوی یک شکل استاندارد دارد که خاصیت پایین را دارا می‌باشد:

در اینجا ${\displaystyle y}$ با مقدار پایین برابر است:

تابع مشخصهی توزیع لِوی برابر است با:

این تابع مشخصه همچنین می‌تواند به همان شکلی که برای توزیع پایدار با ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ و ${\displaystyle \beta =1}$ نوشته می‌شود، نوشته شود.

گشتاور ${\displaystyle n}$ ام توزیع لِوی با فرض اینکه ${\displaystyle \mu =0}$ باشد برابر است با:

تمامی این گشتاورها واگرا هستند. این به این معنی است که این گشتاورها در واقع وجود ندارند. همچنین تابع مولد گشتاورها به این شکل تعریف می‌شود:

همان‌طور که معادله خط پیشین نشان می‌دهد برای تمام ${\displaystyle t>0}$مقدار انتگرال واگراست و در اطراف صفر تعریف نشده‌است. از این رو تابع مولد گشتاور نیز تعریف نشده‌است. مضاف بر این مانند تمام توزیع‌های پایدار به غیر از توزیع طبیعی، این توزیع دم‌سنگین و دم‌کلفت است، یعنی برای ${\displaystyle x\to \infty }$ تابع ${\displaystyle f}$ به معادله پایین میل می‌کند:

این خصیصه در شکل پایین به خوبی نشان داده شده‌است. در اینجا ${\displaystyle \mu =0}$ و بردارها در مقیاس لگاریتمی رسم شده‌اند.

تابع چگالی احتمالِ لِوی در مقیاس لگاریتمی

توزیع استاندارد لِوی شرایط یک توزیع پایدار را برآورده می‌کند:[3]

در اینجا ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$ متغیرهای تصادفی مستقلی هستند که همگی از توزیع استاندارد لِوی متابعت می‌کنند، در اینجا ${\displaystyle \alpha =1/2}$.

• ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(\mu ,c)\,}$ اگر آنگاه${\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)\,}$
• اگر ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$ آنگاه ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$
• اگر ${\displaystyle Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma )}$آنگاه${\displaystyle {(Y-\mu )}^{-2}\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})}$
• اگر ${\displaystyle X\sim {\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})\,}$ آنگاه ${\displaystyle {(X-\mu )}^{-2}\sim {\textrm {Levy}}(0,\sigma )\,}$
• اگر ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$ آنگاه ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )\,}$
• اگر ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}$ آنگاه ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}$
• اگر ${\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}$ آنگاه ${\displaystyle {(X-\mu )}^{-{\tfrac {1}{2}}}\sim \,{\textrm {FoldedNormal}}(0,1/{\sqrt {c}})}$

نمونه‌های تصادفی از توزیع لِوی می‌تواند از طریق روش تبدیل معکوس ایجاد شود. با فرض اینکه متغیر تصادفی ${\displaystyle U}$ از یک توزیع یکنواخت در فاصله واحد ${\displaystyle (0,1]}$ گرفته شده باشد، آنگاه توزیع متغیر ${\displaystyle X}$ که در پایین تعریف شده‌است لِوی خواهد بود:[4]

در اینجا ${\displaystyle \Phi (x)}$ تابع توزیع تجمعی طبیعی است.

• "Information on stable distributions". Archived from the original on 30 اكتبر 2006. Retrieved July 13, 2005. Check date values in: |archive-date= (help) - John P. Nolan's introduction to stable distributions, some papers on stable laws, and a free program to compute stable densities, cumulative distribution functions, quantiles, estimate parameters, etc. See especially بایگانی‌شده در ۱۷ ژوئیه ۲۰۱۱ توسط Wayback Machine An introduction to stable distributions, Chapter 1