توزیع گمپرتز

تابع چگالی گمپرتز بسته به مقدارهای مختلف پارامتر شکلی ${\displaystyle \eta \,\!}$ می‌تواند شکل‌های مختلف به خود بگیرد:

• هرگاه ${\displaystyle \eta \geq 1,\,}$ باشد، مُد تابع چگالی احتمالاتی در صفر خواهد بود.
• هرگاه ${\displaystyle 0<\eta <1,\,}$ مد تابع چگالی احتمالاتی به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121}$

هرگاه ${\displaystyle f_{1}}$ و ${\displaystyle f_{2}}$ تابع‌های چگالی احتمالاتی دو توزیع گمپرتز باشند آنگاه واگرایی کولبک-لیبلر به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname {Ei} (-\eta _{1})+{\frac {\eta _{2}}{\eta _{1}^{\frac {b_{2}}{b_{1}}}}}\,\Gamma \left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}+1,\eta _{1}\right)\right]-(\eta _{1}+1)\end{aligned}}}$

در رابطهٔ بالا، ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\cdot )}$ تابع گامای ناکامل بالایی و ${\displaystyle \operatorname {Ei} (\cdot )}$ انتگرال نمایی است.[9]