تنسور الکترومغناطیسی

در الکترومغناطیس, تنسور الکترومغناطیسی یا تنسور میدان الکترومغناطیسی (گاهی تنسور شدت میدانها, تنسور فارادی یا شبه بردار ماکسول هم گفته می‌شود.) یک مورد ریاضی است که میدان الکترومغناطیس یک مجموعهٔ فیزیکی را توصیف می‌کند. تنسور میدان که برای اولین بار بعد از تنسور ۴ بعدی روابط نسبیت خاص استفاده شد را هرمان مینکوفسکی معرفی کرد. تنسور به بعضی قوانین فیزیکی اجازه می‌دهد تا بسیار خلاصه تر نوشته شوند.

تعریف

تنسور الکترومغناطیسی، قراردادی با حرف Fنمایش داده می‌شود، و به عنوان مشتق خارجی چاربردار پتانسیل, A, دیفرانسیل فرم۱ است:[1][2]

F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.

پسF یک دیفرانسیل فرم۲—که یک تنسور میدان مرتبه۲ نامتقارن در فضای مینکوفسکی است.

F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.

رابطه با میدان‌های کلاسیک

تنسور الکترومغناطیسی نسبت به میدانهای الکتریکی و مغناطیسی کاملاً همدیس , گرچه میدانهای الکتریکی و مغناطیسی با تغییر قاب مرجع تغییر می‌کنند، تنسور الکترومغناطیسی این گونه نیست. در حالت کلی، رابطه تقریباً پیچیده است، ولی در مختصات دکارتی، با استفاده از قاب مرجع خود دستگاه مختصات، رابطه بسیار ساده می‌شود.

E_{i}=cF^{i0},

که c سرعت نور، و

B_{i}=-{\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}F^{jk},

که $\epsilon _{ijk}$ نماد لوی چوی است. به عبارت ماتریسی:

{\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}=F^{\mu \nu }.

یا:

F_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }\eta _{\nu \beta }F^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.

شکل نا همسان در رابطهٔ نیروی لورنتس ظاهر می‌شود: ${\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=qF_{\nu }^{\mu }u^{\nu }$ ، where

F_{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}.

در این مقاله از این جا به بعد دستگاه مختصات را دکارتی و قاب مرجع را خود دستگاه فرض کنید.

مشخصات

شکل ماتریسی تنسور میدان مشخصات زیر را داراست:[1]

۱=ضد تقارن:

F^{\mu \nu }\,=-F^{\nu \mu }

۲=۶ جزء مستقل: در مختصات دکارتی، که سه مؤلفه فضایی میدان الکتریکی(E_x, E_y, E_z) و میدان مغناطیسی (B_x, B_y, B_z) هستند.

۳=ضرب داخلی: اگر از ضرب داخلی تنسور شدت میدان استفاده کنیم یک ثابت لورنتس را می‌توان به صورت زیر نوشت:

F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)

با تغییر قاب مرجع این عدد تغییر نمی‌کند. ۴=ثابت شبه اسکالر: ضرب تنسور $\scriptstyle (F^{\mu \nu })$ با تنسور دوگانهٔ $\scriptstyle (G^{\mu \nu })$ ثابت لورنتس را نتیجه می‌دهد:

G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)\,

که $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }$ نماد لوی چوی مرتبه ۴ است. نماد آن بستگی به مجمع مورد استفاده برای نماد لوی چوی دارد. مجمعی که در این جا استفاده می‌شود $\epsilon _{0123}=+1$ .

۵=دترمینان:

\det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}

که مربع ثابت بالاست.

نکات

با استفاده از تعریف داریم:

T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})

بنابرین اگر:

\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0

در آن صورت:

{\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}

منابع

J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
D.J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd Edition). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 81-7758-293-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[J.A._Wheeler,_C._Misner,_K.S._Thorne_1973-1] J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne (1973). Gravitation. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[2] D.J. Griffiths (2007). Introduction to Electrodynamics (3rd Edition). Pearson Education, Dorling Kindersley. ISBN 81-7758-293-3.