اثبات ریاضیاتی

در برهان مستقیم، نتیجه از ترکیب منطقی اصل‌ها، تعریف‌ها و تئوری‌های پیشین بدست می‌آید. به‌طور مثال برهان مستقیم برای اثبات زوج بودن جمع دو عدد زوج بکار می‌رود:

برای هر ۲ عدد زوج صحیح ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ می‌توانیم بنویسیم ${\displaystyle x=2a}$ و ${\displaystyle y=2b}$. اما جمع ${\displaystyle (x+y)=2a+2b=2(a+b)}$ نیز طبق تعریف عددی زوج است. بنابراین جمع دو عدد زوج همواره زوج می‌باشد.

این اثبات از تعریف اعداد زوج صحیح، و همین‌طور قاعده توزیع استفاده می‌کند.

در اثبات استقرایی، ابتدا یک «حالت پایه» اثبات می‌شود، و سپس به کمک «فرض استقراء» مجموعه‌ای از حالات بعدی اثبات می‌شود.(عموماً متناهی) از آنجایی که حالت پایه صحیح است، حالات دیگر هم باید صحیح باشند، حتی اگر همهٔ آن‌ها هم نتوانند به خاطر تعداد نا متناهیشان به صورت مستقیم اثبات شوند.

استقرای ریاضی می‌تواند برای اثبات گویا نبودن جذر ۲، بکار رود.

اثبات از طریق ترانهش نتیجهٔ «اگر p آنگاه q» را برقرار می‌سازد به وسیلهٔ اثبات گزارهٔ قلب معادل با آن که «اگر نقیض q آنگاه نقیض p» می‌باشد.

در اثبات با برهان خلف، فرض می‌کنیم گزاره‌ای غلط است، سپس به یک تناقض منطقی می‌رسیم، پس نتیجه می‌گیریم که آن گزاره باید صحیح باشد. این روش یکی از متداول‌ترین روش‌های اثبات در ریاضی است.

یک مثال معروف در برهان خلف نشان می‌دهد که:${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ گنگ است.

فرض کنید ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ گویا است، پس ${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$ که a و b اعداد صحیح غیر صفر بدون عامل مشترک هستند. پس ${\displaystyle b{\sqrt {2}}=a}$. با به توان ۲ رساندن دو طرف داریم: ۲b^۲ = a^۲. زیرا سمت چپ بر ۲ بخش پذیر است، سمت راست نیز باید به ۲ بخورد. (چون ۲ طرف مساوی و هر دو عدد صحیح هستند).پس <a^۲ زوج است، که نتیجه می‌دهد a نیز باید زوج باشد.

پس می‌توان نوشت a = ۲c، که c نیز عددی صحیح است. با جابجایی در معادلهٔ اصلی داریم ۲b^۲ = (۲c)^۲ = ۴c^۲. با تقسیم هر دو طرف بر ۲ داریم: b^۲ = ۲c^۲

با استدلال مشابه ۲ می‌شمارد b^۲ را، پس b باید زوج باشد. در حالیکه، اگرa و b هر دو زوج باشند، مضربی مشترک خواهند داشت, (۲). این با فرض ما در تناقض است، پس مجبوریم نتیجه بگیریم که ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ گنگ است.

اثبات از طریق شبیه سازی، یا اثبات با تمثیل، در حقیقت ساختن یک مثال واقعی با خصوصیتی ویژه‌است تا نشان دهیم چیزی با آن خصوصیت وجود دارد.

در اثبات فرسایشی، نتیجهٔ مطلوب از طریق تقسیم آن به تعداد متناهی ای از حالت‌ها و اثبات هر کدام به صورت جداگانه بدست می‌آید. در اثبات فرسایشی، تعداد حالت‌ها ممکن است خیلی زیاد باشد. به‌طور مثال، اولین اثبات تئوری چهار رنگ، یک اثبات فرسایشی با۱٬۹۳۶ حالت مختلف بود. این اثبات یک اثبات جدال‌آمیز بود زیرا در آن اکثریت حالت‌ها با کامپیوتر چک شده بود و نه با دست. کوتاهترین اثبات شناخته شده برای تئوری ۴ رنگ، هنوز هم بیش از ۶۰۰ حالت را در بر می‌گیرد.

اثبات احتمالاتی اثباتی است که در آن بوسیلهٔ تئوری احتمالات، با قطعیت، نشان می‌دهیم که مثالی با ویژگی مطلوب وجود دارد. این را نباید با گزاره‌ای که احتمال درستی دارد(شاید درست باشد)، اشتباه گرفت. استدلال اخیر را همچنین می‌توان 'استدلال گزارهٔ معقول' نام نهاد که البته یک اثبات نیست. در فرضیهٔ کلاتز مشخص است که این چقدر با یک اثبات واقعی فاصله دارد. در حالیکه بیشتر ریاضیدان‌ها معتقدند که گواه احتمالاتی اصلاً یک روش معتبر اثبات ریاضی نیست، تعدادی از ریاضیدان‌ها و فلاسفه بر این باورند که حد اقل تعداد خاصی از استدلال‌های احتمالاتی (مانندالگوریتم احتمالاتی رابینز برای تشخیص اعداد اول) به خوبی یک اثبات معتبر ریاضی هستند.

اثبات احتمالاتی مانند اثبات با شبیه سازی، یکی از راه‌های مختلف برای نشان دادن تئوری‌های وجودی می‌باشند.

اثبات ترکیبیاتی برابری ۲ عبارت را ثابت می‌کند با نشان دادن این که هر دو عبارت یک چیز را می‌شمارند.

اثبات غیر تمثیلی نشان می‌دهد که یک گزارهٔ ریاضی باید وجود داشته باشد، بدون این که توضیح دهد چگونه چنان گزاره‌ای بدست می‌آید. بیشتر اوقات، این شکل از اثبات، فرم برهان خلفی را به خود می‌گیرد که در آن اثبات می‌شود که وجود نداشتن چنان گزاره‌ای غیرممکن است. در مقابل، اثبات‌هایی تمثیلی (اثبات از طریق شبیه سازی) هستند که بیان می‌کنند گزاره‌ای وجود دارد، بوسیلهٔ ارائه کردن راهی برای پیدا کردن آنها. یک مثال معروف از اثبات غیر تمثیلی نشان می‌دهد که دو عدد گنگ ${\displaystyle a}$و ${\displaystyle b}$پیدا می‌شود بطوری‌که ${\displaystyle a^{b}}$ یک عدد گویا است: : ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ یا یک عدد گویا است که کار تمام است (فرض کنید ${\displaystyle a=b={\sqrt {2}}}$)، یا ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ گنگ است پس می‌توانیم بنویسیم: ${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$ و ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$. پس خواهیم داشت ${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$، که عددی گویا از فرم ${\displaystyle a^{b}}$ است.

اثبات ابتدایی اثباتی است که از تحلیل‌های پیچیده استفاده نمی‌کند.

تا مدت‌ها این باور وجود داشت که تئوری‌های خاصی مانند تئوری اعداد اول، تنها به کمک «ریاضیات پیشرفته» قابل اثبات است. در حالیکه با گذشت زمان، بسیاری از این نتایج، با استفاده از تکنیک‌های ابتدایی به اثبات رسید.