برهان خلف

به این ترتیب که از صورت سؤال قسمت اول را به‌عنوان فرض و قسمت دوم که باید اثبات شود را به‌عنوان حکم در نظر می‌گیریم. در مرحله بعدی، که باید حکم را اثبات نمائیم، در جهت عکس آن یعنی در جهت اثبات خلاف حکم حرکت می‌کنیم. از این طریق اگر ما به تناقض با فرض صورت مسئله برسیم به این نتیجه خواهیم رسید که غلط بودن حکم مسئله اشتباه است. پس حکم درست می‌باشد. به این نوع روش اثبات، برهان خلف گفته می‌شود.

فرض کنیم که P گزارهٔ فرض ما و Q گزاره حکم ما باشد به طوریکه بخواهیم Q را از P نتیجه بگیریم یعنی:

${\displaystyle {P\Rightarrow Q}}$

حال اگر بخواهیم از برهان خلف استفاده کنیم ابتدا نقیض حکم را می‌سازیم و به عنون فرض جدید در نظر می‌گیریم و سعی می‌کنیم تا به فرض قدیم برسیم:

${\displaystyle \lnot Q\equiv P'}$

${\displaystyle {P'\Rightarrow P}}$

حال اگر Q درست بوده باشد پس نقیض آن یعنی ${\displaystyle \lnot Q}$ (که همان P' می‌باشد) غلط است و عبارت ${\displaystyle {P'\Rightarrow P}}$ دارای تناقض است، اگر چنین باشد در این صورت یا P یا 'P باید غلط باشد. از آنجا که P فرض اصلی ما بوده است پس نمی‌تواند غلط باشد پس 'P غلط بوده است. پس نقیض 'P درست است. از آنجا که 'P برابر با نقیض Q بود پس نقیض 'P برابر با نقیض نقیض Q است، همان‌طور که می‌دانید نقیض نقیض هر گزاره برابر با خود گزاره است، پس گزارهٔ Q درست است و حکم ثابت می‌شود.

برهان خلف از دو استدلال قیاسی تشکیل می‌شود و یک قیاس مرکب است. در استدلال نخست، ما می‌گوییم که

اگر P صحیح نباشد، آن گاه 'P صحیح است.

اگر 'P صحیح باشد، 'Q صحیح است.

پس اگر P صحیح نباشد، 'Q صحیح است.

نتیجهٔ این استدلال، خود مقدمهٔ قیاس استثنایی دیگری می‌شود. در این قیاس می‌گوییم:

اگر P صحیح نباشد، 'Q صحیح است.

لکن Q صحیح است. (بنا بر فرض قبلی یا چون یکی از اصول موضوع ماست)

پس P صحیح است.

المنطق، محمدرضا مظفر، بحث قیاس خلف