فیلتر کالمان

تهیه اطلاعات پیوسته و گسسته به روز و دقیق در مورد مکان و سرعت یک شی معین فقط به کمک توالی مشاهدات در مورد موقعیت آن شی، که هر کدام شامل مقداری خطاست امکان‌پذیر است. این فیلتر در طیف گسترده‌ای از کاربری‌های مهندسی از رادار گرفته تا بینایی رایانه‌ای کاربرد دارد. روش فیلتر کالمن یکی از عناوین مهم در تئوری کنترل و مهندسی سیستم‌های کنترلی می‌باشد.

به عنوان مثال، برای کاربری آن در رادار، آنجا که علاقه‌مند به ردیابی هدف هستید، اطلاعات در مورد موقعیت، سرعت و شتاب هدف با حجم عظیمی از انحراف به لطف پارازیت در هر لحظه اندازه‌گیری می‌شود. فیلتر کالمن از پویایی هدف بهره می‌گیرد به این صورت که سیر تکاملی آن را کنترل می‌کند، تا تأثیرات پارازیت را از بین ببرد و یک برآورد خوب از موقعیت هدف در زمان حال (تصفیه کردن) و در آینده (پیش‌بینی) یا در گذشته (الحاق یا هموار سازی) ارائه می‌دهد. یک نسخه ساده شده فیلتر کالمن، فیلتر آلفا بتا (alpha beta filter)، که همچنان عموماً استفاده می‌شود از ثابت‌های static weighting به جای ماتریس‌های کواریانس استفاده می‌کند.

اگر چه Thorvald Nicolai Thiele و Peter Swerling قبلاً الگوریتم مشابهی ارائه داده بودند، این فیلتر به افتخار Rudolf E. Kalman، فیلتر کالمن نام‌گذاری شد و Stanley F. Schmidt عموماً به خاطر توسعه اولین پیاده‌سازی فیلتر کالمن شهرت یافت. این رخداد هنگام ملاقات با کالمن در مرکز تحقیقاتی ناسا (NASA Ames Research Center) روی داد و وی شاهد کارایی ایده کالمن در برآورد مسیر پرتاب پروژه آپولو بود، که منجر به الحاق آن به رایانه ناوبری آپولو شد. این فیلتر بر روی کاغذ در ۱۹۵۸ توسط Swerling، در ۱۹۶۰ توسط Kalman و در ۱۹۶۱ توسط Kalman and Bucy ایجاد و بسط داده شد.

این فیلتر بعضی مواقع فیلتر Stratonovich-Kalman-Bucy نامیده می‌شود، چرا که یک نمونه خاص از فیلتر بسیار معمولی و غیر خطی ای است که قبلاً توسط Ruslan L. Stratonovich ایجاد شده، در حقیقت معادله این نمونه خاص، فیلتر خطی در اسنادی که از Stratonovich قبل از تابستان ۱۹۶۰، یعنی زمانی که کالمن ،Stratonovich را در کنفرانسی در مسکو ملاقات کرد به چاپ رسید بود.

در تئوری کنترل، فیلتر کالمن بیشتر به برآورد مرتبه دوم (LQE) اشاره دارد. امروزه تنوع گسترده‌ای از فیلتر کالمن به وجود آمده، از فرمول اصلی کالمن در حال حاضر فیلترهای: کالمن ساده، توسعه یافته اشمیت، اطلاعاتی و فیلترهای گوناگون جذر بیرمن، تورنتون و بسیاری دیگر به وجود آمده‌اند. گویا مرسوم‌ترین نوع فیلتر کالمن فاز حلقهٔ بسته (phase-locked loop) می‌باشد که امروزه در رادیوها، رایانه‌ها و تقریباً تمامی انواع ابزارهای تصویری و ارتباطی کاربرد دارد.

فیلترهای کالمن بر اساس سیستم‌های خطی پویا (linear dynamical systems) گسسته در بازه زمانی هستند. آن‌ها بر اساس زنجیره مارکوف (Markov chain) به کمک عملگرهای خطی ساخته شده‌اند و توسط نوفه گاوسی (Gaussian noise) تحریک می‌شوند. حالت سیستم توسط برداری از اعداد حقیقی بیان می‌شود. در هر افزایش زمانی که در بازه‌های گسسته صورت می‌گیرد، یک عملگر خطی روی حالت فعلی اعمال می‌شود تا حالت بعدی را با کمی پارازیت ایجاد کند و اختیاراً در صورت شناخت روی کنترل‌کننده‌های سیستم برخی اطلاعات مرتبط را استخراج می‌کند. سپس عملگر خطی دیگر به همراه مقدار دیگری پارازیت خروجی قابل مشاهده‌ای از این حالت نامشخص تولید می‌کند. فیلتر کالمن قادر است مشابه مدل نامشخص مارکوف برخورد کند. با این تفاوت کلیدی که متغیرهای حالت نامشخص در یک فضای پیوسته مقدار می‌گیرند (نقطهٔ مقابل فضای حالت گسسته در مدل مارکوف). بعلاوه، مدل نامشخص مارکوف می‌تواند یک توزیع دلخواه برای مقادیر بعدی متغیرهای حالت ارائه کند، که در تناقض با مدل پارازیت گاوسی‌ای است که در فیلتر کالمن استفاده می‌شود. در اینجا یک دوگانگی بزرگ بین معادلات فیلتر کالمن و آن مدل مارکوف وجود دارد. مقاله‌ای در رابطه با این مدل و دیگر مدل‌ها در Roweis and Ghahramani[3] و فصل ۱۳ Hamilton[4] ارائه شده‌است.

برای تخمین حالت درونی یک فرایند که توسط مجموعه‌ای مشاهدات دارای پارازیت ارائه شده‌است باید آن را منطبق بر چارچوب فیلتر کالمن کنیم. به این منظور ماتریس‌های زیر را ارائه می‌کنیم:

F_{k: مدل انتقال حالات،}

H_{k: مدل مشاهده شده،}

Q_{k: کوواریانس پارازیت فرایند،}

R_{k: کوواریانس پارازیت مشاهده شده،}

B_{k: مدل ورودی-کنترل}

فیلتر کالمن بیان می‌کند که می‌توان حالت k را با استفاده از حالت (k - 1) با استفاده از رابطه زیر محاسبه کرد:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}+\mathbf {w} _{k}}$

به‌طوری‌که:

F_{k: حالت انتقالی اعمال شده به xk−۱،}

B_{k: مدل ورودی-کنترل اعمال شده به بردار کنترلی uk,}

w_{k: فرایند نویزی با توزیع نرمال، میانگین صفر و واریانس Qk}

در زمان k،مشاهده z_k با توجه به حالت x_k به صورت زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

به‌طوری‌که H_k مدل مشاهده شده که به فضای مشاهده شده نگاشت می‌شود و همچنین v_k نویز مشاهده شده با توزیع گاوسی، میانگین صفر و کوواریانس R_k است.

لازم است ذکر شود که حالت اولیه و بردار نویزی در هر محله از هم مستقل هستند.

بسیاری از سیستم‌های پویای واقعی از این مدل تبعیت نمی‌کنند. برخی سیستم‌های پویا حتی در زمانی که منبع ورودی ناشناخته‌ای را بررسی می‌کنیم، می‌توانند موجب کاهش تأثیر این فیلتر شوند. زیرا اثر این سیستم‌ها بر سیگنال ورودی تأثیرگذار است و به این ترتیب می‌تواند موجب ناپایداری تخمین فیلتر شود. به علاوه نویزهای سفید مستقل باعث منشعب شدن فیلتر نمی‌شوند. مسئله تفکیک نویز سفید و سیستم‌های پویا در شاخهٔ نظریه کنترل و در چارچوب کنترل مقاوم بررسی می‌شود.[5][6]

فیلتر کالمن یک تخمین‌گر بازگشتی است، یعنی تنها تخمین حالت قبل و مشاهده فعلی برای محاسبه تخمین حالت فعلی لازم است. برعکس بسیاری از تخمین‌گرها نیازی به نگهداری اطلاعات تخمین‌ها و مشاهدات تمام حالات قبل نیست. در اینجا ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{n\mid m}}$ بیانگر تخمینی از ${\displaystyle \mathbf {x} }$ در زمان n به شرط از مشاهدات پیش از این زمان است.

حالت فعلی فیلتر توسط دو متغیر تشریح می‌شود:

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ تخمین حالت پسینی در زمان k به شرط مشاهدات پیش از k.
• ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ماتریس کوواریانس خطای پسین.

فیلتر کالمن توسط یک معادله بیان می‌شود اما معمولاً آن را به دو بخش پیش‌بینی و آپدیت تفکیک می‌کنند. در گام پیش‌بینی با استفاده از تخمین‌های حالات در بازه‌های زمانی پیشین، تخمینی برای حالت فعلی بدست می‌آید. این تخمین پیش‌بینی شده همان دانش پیشینی است زیرا تنها به تخمین‌های قبلی وابسته است و هیچ مشاهده‌ای در حالت فعلی سیستم را در برنمی‌گیرد. در گام آپدیت تخمین پیشین با مشاهدات فعلی ترکیب می‌شود تا تخمینی از حالت فعلی سیستم ارائه کند.

معمولاً این دو گام متناوباً تکرار می‌شوند، به این معنی که پیش‌بینی تا مشاهده بعدی انجام می‌شود و سپس با استفاده از مشاهدات فعلی آپدیت انجام می‌شود. اگر در بازه زمانی مشاهده‌ای انجام نشود، پیش‌بینی‌ها تا مشاهده بعدی انجام می‌شوند و آپدیت بر مبنای چند مرحله پیش‌بینی انجام می‌شود. به‌طور مشابه اگر در بازه زمانی چندین مشاهده مستقل انجام شود، بر مبنای هریک از آن‌ها چند آپدیت با ماتریس‌های H_k متفاوت بدست می‌آید.[7][8]

پیش‌بینی

تخمین حالت پیش‌بینی شده (پیشین)	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k-1\mid k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k}}$
تخمین کوواریانس پیش‌بینی شده (پیشین)	${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}\mathbf {F} _{k}^{\text{T}}+\mathbf {Q} _{k}}$

آپدیت

مشاهده جدید وابسته	${\displaystyle {\tilde {\mathbf {y} }}_{k}=\mathbf {z} _{k}-\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}}$
کوواریانس جدید وابسته	${\displaystyle \mathbf {S} _{k}=\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}+\mathbf {R} _{k}}$
نتیجه بهینه کالمن	${\displaystyle \mathbf {K} _{k}=\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{T}\mathbf {S} _{k}^{-1}}$
تخمین حالت آپدیت شده (پسین)	${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}={\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1}+\mathbf {K} _{k}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}}$
تخمین کوواریانس آپدیت شده (پسین)	${\displaystyle \mathbf {P} _{k|k}=(I-\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k|k-1}}$

فرمول کوواریانس آپدیت شده تنها در حالت بهینه بودن فیلتر کالمن کاربرد دارد و در باقی حالات فرمول‌های پیچیده‌تری موردنیاز است که در بخش مشتقات موجود است.

کامیونی دارای اصطکاک در مسیری مستقیم را در نظر بگیرید. کامیون در مکان صفر ثابت است و سپس در مسیری تحت تأثیر نیروهای تصادفی به حرکت در می‌آید. موقعیت کامیون را در هر Δt ثانیه اندازه‌گیری می‌کنیم. اما این اندازه‌گیری مبهم است چرا ما تنها مدلی از مکان و سرعت کامیون را در نظر می‌گیریم. در اینجا فیلتر کالمن را برای این مدل بیان می‌کنیم.

چون ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {H} ,\mathbf {R} ,\mathbf {Q} }$ ثابت هستند، شاخص‌های زمانی آن‌ها حذف می‌شوند.

موقعیت و سرعت کامیون در فضای خطی موقعیت آن توصیف می‌شود:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}={\begin{bmatrix}x\\{\dot {x}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}}$ سرعت، یعنی مشتق مکان نسبت به زمان است.

فرض کنیم در بازه زمانی میان (k − ۱) و k شتاب a_k که دارای توزیع طبیعی با میانگین صفر و واریانسσ_a است به آن اعمال شود. طبق قوانین حرکت نیوتن داریم:

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {G} a_{k}}$

${\displaystyle \mathbf {G} }$ نتیجه شتابa_k را به سیستم اعمال می‌کند و همچنین داریم

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}1&\Delta t\\0&1\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\\[6pt]\Delta t\end{bmatrix}}}$

به این ترتیب

${\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} \mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k}}$

به‌طوری‌که ${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim N(0,\mathbf {Q} )}$ و

${\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {G} \mathbf {G} ^{\text{T}}\sigma _{a}^{2}={\begin{bmatrix}{\frac {\Delta t^{4}}{4}}&{\frac {\Delta t^{3}}{2}}\\[6pt]{\frac {\Delta t^{3}}{2}}&\Delta t^{2}\end{bmatrix}}\sigma _{a}^{2}}$

توزیع ${\displaystyle N(0,\mathbf {Q} )}$ کاملاً پیوسته نیست و بنابراین هیچ تابع توزیع احتمالی ندارد. روش دیگر بیان این توزیع به صورت زیر است:

${\displaystyle \mathbf {w} _{k}\sim \mathbf {G} \cdot N(0,\sigma _{a})}$

در هر بازه زمانی، موقعیت کامیون که با نویزی آمیخته‌است در دست است. فرض کنیم این نویز v_k دارای توزیع طبیعی با میانگین صفر و واریانس σ_z باشد،

${\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {Hx} _{k}+\mathbf {v} _{k}}$

به‌طوری‌که

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle \mathbf {R} ={\textrm {E}}[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\text{T}}]={\begin{bmatrix}\sigma _{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

می‌دانیم موقعیت اولیه کامیون مشخص است و به صورت زیر در نظر گرفته می‌شود

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

برای اینکه در فیلتر آگاهیمان نسبت به این موضوع را مشخص کنیم، یک ماتریس کوواریانس صفر تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

اگر حالت ابتدایی و سرعت به درستی و دقت در دست نباشند، ماتریس کوواریانس باید با توجه به واریانس‌های داده شده و به صورت قطری تعریف شود:

${\displaystyle \mathbf {P} _{0\mid 0}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&0\\0&\sigma _{\dot {x}}^{2}\end{bmatrix}}}$

به این ترتیب فیلتر قادر به محاسبه اطلاعات مدل بر اساس مقادیر اولیه می‌شود.

معادلات فیلتر کردن کالمن تخمینی بازگشتی برای حالت ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ و کوواریانس خطای ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ ارائه می‌کند. دقت تخمین به پارامترهای سیستم و نویز ورودی تخمین‌گر بستگی دارد.[15] در غیاب مقادیر ماتریس‌های کوواریانس ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ و ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ عبارت

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})^{\mathrm {T} }+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}\mathbf {K} _{k}^{\mathrm {T} }}$

مقدار درست کوواریانس خطا را ارائه نمی‌کند. به عبارت دیگر، ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}\neq E[(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k})(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k})^{\mathrm {T} }]}$. در بسیاری از کاربردهای بی‌درنگ، ماتریس‌های کوواریانس مورد استفاده در طراحی فیلتر کالمن با مقادیر واقعی ماتریس‌های کوواریانس تفاوت دارند. این تحلیل بیان می‌دارد که تخمین کوواریانس خطا زمانی که ماتریس‌های ورودی سیستم ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ و ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}}$ باشند، نادرست است.

این بحث به حالتی که عدم قطعیت در مورد خطا داریم محدود می‌شود. حال مقادیر واقعی کوواریانس نویز را ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ و ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ تعریف می‌کنیم به‌طوری‌که مقادیر آن‌ها به ترتیب در روابط جایگزین ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ و ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ شوند. مقدار واقعی کوواریانس خطا را ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ و ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ با فیلتر کالمن محاسبه می‌شوند. اگر ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}\equiv \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ و ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}\equiv \mathbf {R} _{k}^{a}}$، ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}=\mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ خواهد بود. با محاسبه مقدار واقعی کوواریانس خطا ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=E[(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k})(\mathbf {x} _{k}-{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k})^{\mathrm {T} }]}$ و جایگذاری ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {x} }}_{k\mid k}}$ و در نظر داشتن اینکه ${\displaystyle E[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\mathrm {T} }]=\mathbf {Q} _{k}^{a}}$ and ${\displaystyle E[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\mathrm {T} }]=\mathbf {R} _{k}^{a}}$ معادلات بازگشتی برای ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ بدست می‌آید:

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{k-1\mid k-1}^{a}\mathbf {F} _{k}^{\mathrm {T} }+\mathbf {Q} _{k}^{a}}$

و

${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}=(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})\mathbf {P} _{k\mid k-1}^{a}(\mathbf {I} -\mathbf {K} _{k}\mathbf {H} _{k})^{\mathrm {T} }+\mathbf {K} _{k}\mathbf {R} _{k}^{a}\mathbf {K} _{k}^{\mathrm {T} }}$

محاسبه ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ با فرض ${\displaystyle E[\mathbf {w} _{k}\mathbf {w} _{k}^{\mathrm {T} }]=\mathbf {Q} _{k}}$ و ${\displaystyle E[\mathbf {v} _{k}\mathbf {v} _{k}^{\mathrm {T} }]=\mathbf {R} _{k}}$ انجام می‌شود. روابط بازگشتی برای ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}^{a}}$ و ${\displaystyle \mathbf {P} _{k\mid k}}$ جز زمانی که ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}^{a}}$ و ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}^{a}}$ را به ترتیب به جای ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ و ${\displaystyle \mathbf {R} _{k}}$ در نظر بگیریم، یکتا هستند.

یکی از مشکلات فیلتر کالمن ثبات عددی است. اگر کوواریانس نویزQ_k کوچک باشد، مقدار ویژه آن منفی می‌شود. به این ترتیب ماتریس کوواریانس حالاتP نامعین می‌شود در حالیکه باید مثبت معین باشد.

یک ویژگی ماتریس‌های مثبت معین این است که ریشه مربعی ماتریس مثلثی P = S·S^T دارند. این ریشه می‌تواند به کمک روش تفکیک چولسکی (Cholesky decomposition) محاسبه شود. اگر کوواریانس به این فرم نوشته شود، هیچ‌گاه قطری یا متقارن نخواهد بود. یک فرم معادل این ماتریس که با استفاده از تفکیک U-D بدست می‌آید، P = U·D·U^T

است کهU یک ماتریس مثلثی واحد و D یک ماتریس قطری است. در میان این دو فرم، فرم U-D رایج‌تر است و نیاز به محاسبات کمتری دارد.

الگوریتم‌های کارای پیش‌بینی و آپدیت کالمن در فرم ریشه مربعی، توسط بیرمن و تورتون ارائه شدند.[16][17]

'تفکیک'L·D·L^T ماتریس کوواریانسS_k مبنای دیگر فیلترهای عددی و ریشه مربعی است.[18] الگوریتم با تفکیک LU آغاز می‌شود و نتایج آن در ساختارL·D·L^T وارد می‌شود تا به روش Golub و Van Loan (الگوریتم ۴٫۱٫۲) در ماتریس قطری غیر واحد انجام شود.[19]

فیلتر کالمن یکی از ساده‌ترین شبکه‌های پویای بیزی است. فیلتر کالمن حالات فعلی سیستم را در طول زمان به صورت بازگشتی، با استفاده از اندازه‌گیری‌های ورودی در مدل فرایندی ریاضی تخمین می‌زند. به‌طور مشابه تخمین بازگشتی بیز، توابع توزیع احتمال ناشناخته را به صورت بازگشتی، با استفاده از اندازه‌گیری‌های ورودی در مدل فرایندی ریاضی در طول زمان تخمین می‌زند.[20]

در تخمین بازگشتی بیز، حالت فعلی یک فرایند مارکوف مشاهده نشده در نظر گرفته می‌شود و اندازه‌گیری‌های مشاهده شده مدل پنهان مارکف (HMM) هستند.

با فرض مارکوف، حالت فعلی سیستم مستقل از تمام حالات پیش از حالت قبلی آن است.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k-1})=p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{k-1})}$

به‌طور مشابه اندازه‌گیری در بازه زمانی kام تنها به حالت قبلی وابسته است و مستقل از تمام حالات پیش از حالت قبلی آن است.

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k})=p({\textbf {z}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{k})}$

با این مفروضات، توزیع احتمال تمام حالات مدل پنهان مارکوف به صورت زیر بیان می‌شود:

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k},{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{k})=p({\textbf {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\textbf {z}}_{i}\mid {\textbf {x}}_{i})p({\textbf {x}}_{i}\mid {\textbf {x}}_{i-1})}$

هدف فیلتر کالمن تخمین حالت فعلی سیستم است. این تخمین با استفاده از حاشیه‌سازی تابع توزیع مشترک بر اساس حالت قبلی سیستم قابل محاسبه است. کافی است حاشیه‌سازی نسبت به تمام حالات قبل انجام شده و بر احتمال مجموعه اندازه‌گیری‌ها تقسیم شود.

به این ترتیب گام‌های پیش‌بینی و آپدیت فیلتر کالمن به صورت احتمالاتی بدست می‌آیند. توزیع احتمال حالت پیش‌بینی شده حاصل انتگرال حاصلضرب توابع توزیع احتمال انتقال از حالت (k-1)ام به حالت kام است و حالت قبلی روی تمام ${\displaystyle x_{k-1}}$‌های ممکن است.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {Z}}_{k-1})=\int p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{k-1})p({\textbf {x}}_{k-1}\mid {\textbf {Z}}_{k-1})\,d{\textbf {x}}_{k-1}}$

اندازه‌گیری‌ها تا بازه زمانی kام عبارتند از:

${\displaystyle {\textbf {Z}}_{t}=\left\{{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{t}\right\}}$

توزیع احتمال آپدیت از حاصلضرب پیش‌بینی و احتمال بخت (likelihood) بدست می‌آید.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {Z}}_{k})={\frac {p({\textbf {z}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {Z}}_{k-1})}{p({\textbf {z}}_{k}\mid {\textbf {Z}}_{k-1})}}}$

به‌طوری‌که

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}\mid {\textbf {Z}}_{k-1})=\int p({\textbf {z}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {Z}}_{k-1})\,d{\textbf {x}}_{k}}$

ضریب نرمال‌سازی است.

توابع توزیع احتمال باقی‌مانده عبارتند از:

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{k-1})={\mathcal {N}}({\textbf {F}}_{k}{\textbf {x}}_{k-1},{\textbf {Q}}_{k})}$

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}\mid {\textbf {x}}_{k})={\mathcal {N}}({\textbf {H}}_{k}{\textbf {x}}_{k},{\textbf {R}}_{k})}$

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k-1}\mid {\textbf {Z}}_{k-1})={\mathcal {N}}({\hat {\textbf {x}}}_{k-1},{\textbf {P}}_{k-1})}$

توجه کنید که تابع چگالی احتمال حالت قبل، یک تخمین است. فیلتر کالمن فیلتری بهینه است و به این ترتیب توزیع احتمال ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ به شرط اندازه‌گیری ${\displaystyle \mathbf {Z} _{k}}$ یک تخمین بهینه توسط فیلتر کالمن است.

همانند تخمین بازگشتی بیز که پیش‌تر بیان شد، فیلتر کالمن را می‌توان به عنوان یک مدل مولد دید. یعنی فرایندی برای تولید دنباله‌ای از مشاهدات تصادفی (... ,z = (z₀, z₁, z_2. این فرایند به صورت زیر تعریف می‌شود:

1. حالت پنهان ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ را از توزیع گاوسی پیشین${\displaystyle p(\mathbf {x} _{0})={\mathcal {N}}({\hat {\mathbf {x} }}_{0\mid 0},\mathbf {P} _{0\mid 0})}$ نمونه‌گیری کنید.
2. حالت پنهان ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {z} _{0}}$ را از مدل مشاهده شده ${\displaystyle p(\mathbf {z} _{0}\mid \mathbf {x} _{0})={\mathcal {N}}(\mathbf {H} _{0}\mathbf {x} _{0},\mathbf {R} _{0})}$ نمونه‌گیری کنید.
3. برای ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$
   1. حالت پنهان ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}}$ را از مدل انتقالی${\displaystyle p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1})={\mathcal {N}}(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {B} _{k}\mathbf {u} _{k},\mathbf {Q} _{k})}$ محاسبه کنید.
   2. مشاهده ${\displaystyle \mathbf {z} _{k}}$ را از مدل مشاهده شده${\displaystyle p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})={\mathcal {N}}(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k})}$ محاسبه کنید.

این فرایند ساختاری مشابه مدل پنهان مارکوف دارد که حالات گسسته در آن به متغیرهای تصادفی پیوسته با توزیع گاوسی تبدیل شده‌است.

محاسبه بخت حاشیه‌ای به عنوان نتیجه‌ای از فیلتر کردن بازگشتی بسیار آسان است. به کمک قانون زنجیره‌ای احتمال، بخت از حاصلضرب احتمال هر مشاهده به شرط مشاهدات قبلی بدست می‌آید،

${\displaystyle p(\mathbf {z} )=\prod _{k=0}^{T}p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0})}$

به علاوه چون فیلتر کالمن معرف یک فرایند مارکوف است، تمام دانش بدست آمده از مشاهدات قبلی به تخمین ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1}}$ محدود می‌شود. به این ترتیب بخت حاشیه‌ای به صورت زیر محاسبه می‌شود:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mathbf {z} )&=\prod _{k=0}^{T}\int p(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k})p(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k-1},\ldots ,\mathbf {z} _{0})d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}\int {\mathcal {N}}(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}){\mathcal {N}}(\mathbf {x} _{k};{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {P} _{k\mid k-1})d\mathbf {x} _{k}\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {R} _{k}+\mathbf {H} _{k}\mathbf {P} _{k\mid k-1}\mathbf {H} _{k}^{T})\\&=\prod _{k=0}^{T}{\mathcal {N}}(\mathbf {z} _{k};\mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k})\end{aligned}}}$

رابطه بالا حاصلضرب چند توزیع احتمال گاوسی است که هر یک نمایانگر یک مشاهدهz_k تحت فیلتر ${\displaystyle \mathbf {H} _{k}{\hat {\mathbf {x} }}_{k\mid k-1},\mathbf {S} _{k}}$ است؛ که از آپدیت‌های بازگشتی محاسبه می‌شود. برای راحتی محاسبه بهتر است ازlog بخت حاشیه‌ای یعنی${\displaystyle \ell =\log p(\mathbf {z} )}$ استفاده شود. با فرض ${\displaystyle \ell ^{(-1)}=0}$ محاسبه به صورت بازگشتی انجام می‌شود.

${\displaystyle \ell ^{(k)}=\ell ^{(k-1)}-{\frac {1}{2}}\left({\tilde {\mathbf {y} }}_{k}^{T}\mathbf {S} _{k}^{-1}{\tilde {\mathbf {y} }}_{k}+\log \left|\mathbf {S} _{k}\right|+d_{y}\log 2\pi \right)}$

به‌طوری‌که ${\displaystyle d_{y}}$ بعد بردار اندازه‌گیری‌ها می‌باشد.[21]

در فیلتر اطلاعاتی یا فیلتر کوواریانس معکوس، تخمین کوواریانس و تخمین حالت به ترتیب با ماتریس اطلاعات و تابع اطلاعات جایگزین می‌شوند.

${\displaystyle {\textbf {Y}}_{k\mid k}={\textbf {P}}_{k\mid k}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {y}}}_{k\mid k}={\textbf {P}}_{k\mid k}^{-1}{\hat {\textbf {x}}}_{k\mid k}}$

به طریق مشابه کوواریانس و بردار مشاهدات هم با عبارات هم‌ارز اطلاعاتی جایگزین می‌شوند.

${\displaystyle {\textbf {Y}}_{k\mid k-1}={\textbf {P}}_{k\mid k-1}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {y}}}_{k\mid k-1}={\textbf {P}}_{k\mid k-1}^{-1}{\hat {\textbf {x}}}_{k\mid k-1}}$

با داشتن ماتریس و بردار مشاهدات که به صورت زیر تعریف شده‌اند

${\displaystyle {\textbf {I}}_{k}={\textbf {H}}_{k}^{\text{T}}{\textbf {R}}_{k}^{-1}{\textbf {H}}_{k}}$

${\displaystyle {\textbf {i}}_{k}={\textbf {H}}_{k}^{\text{T}}{\textbf {R}}_{k}^{-1}{\textbf {z}}_{k}}$

اطلاعات آپدیت شده به صورت زیر نوشته می‌شوند.[22]

${\displaystyle {\textbf {Y}}_{k\mid k}={\textbf {Y}}_{k\mid k-1}+{\textbf {I}}_{k}}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {y}}}_{k\mid k}={\hat {\textbf {y}}}_{k\mid k-1}+{\textbf {i}}_{k}}$

مزیت اصلی فیلتر اطلاعاتی این است که N مشاهده می‌توانند در هر بازه زمانی با جمع زدن ماتریس‌ها و بردارهای اطلاعاتی فیلتر شوند.

${\displaystyle {\textbf {Y}}_{k\mid k}={\textbf {Y}}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}{\textbf {I}}_{k,j}}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {y}}}_{k\mid k}={\hat {\textbf {y}}}_{k\mid k-1}+\sum _{j=1}^{N}{\textbf {i}}_{k,j}}$

جهت پیش‌بینی فیلتر اطلاعات ماتریس و بردار اطلاعات به عبارات هم‌ارزشان در فضای حالات سیستم تبدیل می‌شوند. البته پیش‌بینی فضای اطلاعاتی هم قابل انجام است.[22]

${\displaystyle {\textbf {M}}_{k}=[{\textbf {F}}_{k}^{-1}]^{\text{T}}{\textbf {Y}}_{k-1\mid k-1}{\textbf {F}}_{k}^{-1}}$

${\displaystyle {\textbf {C}}_{k}={\textbf {M}}_{k}[{\textbf {M}}_{k}+{\textbf {Q}}_{k}^{-1}]^{-1}}$

${\displaystyle {\textbf {L}}_{k}=I-{\textbf {C}}_{k}}$

${\displaystyle {\textbf {Y}}_{k\mid k-1}={\textbf {L}}_{k}{\textbf {M}}_{k}{\textbf {L}}_{k}^{\text{T}}+{\textbf {C}}_{k}{\textbf {Q}}_{k}^{-1}{\textbf {C}}_{k}^{\text{T}}}$

${\displaystyle {\hat {\textbf {y}}}_{k\mid k-1}={\textbf {L}}_{k}[{\textbf {F}}_{k}^{-1}]^{\text{T}}{\hat {\textbf {y}}}_{k-1\mid k-1}}$

این مقادیر به شرطی قابل محاسبه‌اند کهF و Q در زمان ثابت باشند. همچنینF و Q باید معکوس‌پذیر باشند.

تصفیه‌کننده بهینه تخمینی بهینه از ${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{k-N\mid k}}$ برای تأخیر ثابت ${\displaystyle N}$ با استفاده از مشاهدات${\displaystyle {\textbf {z}}_{1}}$ تا ${\displaystyle {\textbf {z}}_{k}}$ ارائه می‌کند.[23] این تخمین به کمک روابط قبلی و برای یک حالت تکمیل شده به صورت زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\textbf {x}}}_{t\mid t}\\{\hat {\textbf {x}}}_{t-1\mid t}\\\vdots \\{\hat {\textbf {x}}}_{t-N+1\mid t}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\textbf {I}}\\0\\\vdots \\0\\\end{bmatrix}}{\hat {\textbf {x}}}_{t\mid t-1}+{\begin{bmatrix}0&\ldots &0\\{\textbf {I}}&0&\vdots \\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &I\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\hat {\textbf {x}}}_{t-1\mid t-1}\\{\hat {\textbf {x}}}_{t-2\mid t-1}\\\vdots \\{\hat {\textbf {x}}}_{t-N+1\mid t-1}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\textbf {K}}^{(0)}\\{\textbf {K}}^{(1)}\\\vdots \\{\textbf {K}}^{(N-1)}\\\end{bmatrix}}{\textbf {y}}_{t\mid t-1}}$

به‌طوری‌که:

• ${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{t\mid t-1}}$ و ${\displaystyle {\textbf {y}}_{t\mid t-1}={\textbf {z}}_{t}-{\textbf {H}}{\hat {\textbf {x}}}_{t\mid t-1}}$ با یک فیلتر استاندارد کالمن تخمین زده شده‌است.
• ${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{t-i\mid t}}$ و ${\displaystyle i=1,\ldots ,N-1}$ متغیرهای جدیدی هستند که در فیلتر کالمن وجود نداشتند.
• نتایج کالمن از رابطه زیر بدست می‌آیند:
  • ${\displaystyle {\textbf {K}}^{(i)}={\textbf {P}}^{(i)}{\textbf {H}}^{T}\left[{\textbf {H}}{\textbf {P}}{\textbf {H}}^{\mathrm {T} }+{\textbf {R}}\right]^{-1}}$
  • ${\displaystyle {\textbf {P}}^{(i)}={\textbf {P}}\left[\left[{\textbf {F}}-{\textbf {K}}{\textbf {H}}\right]^{T}\right]^{i}}$

به‌طوری‌که ${\displaystyle {\textbf {P}}}$ و ${\displaystyle {\textbf {K}}}$ کوواریانس خطاهای پیش‌بینی شده و نتایج فیلتر استاندارد کالمن هستند. (${\displaystyle {\textbf {P}}_{t\mid t-1}}$)

اگر تخمین کوواریانس خطا را به صورت زیر تعریف کنیم:

${\displaystyle {\textbf {P}}_{i}:=E\left[\left({\textbf {x}}_{t-i}-{\hat {\textbf {x}}}_{t-i\mid t}\right)^{*}\left({\textbf {x}}_{t-i}-{\hat {\textbf {x}}}_{t-i\mid t}\right)\mid z_{1}\ldots z_{t}\right]}$

تخمین بهتری از ${\displaystyle {\textbf {x}}_{t-i}}$ از رابطه زیر حاصل می‌شود.

${\displaystyle {\textbf {P}}-{\textbf {P}}_{i}=\sum _{j=0}^{i}\left[{\textbf {P}}^{(j)}{\textbf {H}}^{T}\left[{\textbf {H}}{\textbf {P}}{\textbf {H}}^{\mathrm {T} }+{\textbf {R}}\right]^{-1}{\textbf {H}}\left({\textbf {P}}^{(i)}\right)^{\mathrm {T} }\right]}$

تصفیه‌کننده بهینه تخمینی بهینه از ${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{k\mid n}}$ (${\displaystyle k<n}$) با استفاده از مشاهداتی در بازه${\displaystyle {\textbf {z}}_{1}}$ تا ${\displaystyle {\textbf {z}}_{n}}$ ارائه می‌کند. به این مبحث «تصفیه‌کننده کالمن» هم گفته می‌شود. الگوریتم‌های مختلفی با این منظور موجودند.

توابع وزن‌دار جهت وزن دادن به میانگین توزیع توان خطا در یک بازه تغییر مشخص استفاده می‌شوند. فرض کنید ${\displaystyle {\textbf {y}}}$ - ${\displaystyle {\hat {\textbf {y}}}}$ یک تخمین خطای خروجی توسط فیلتر کالمن و ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ یک تابع تخصیص وزن علی باشد. روش بهینه‌ای که واریانس (${\displaystyle {\textbf {y}}}$ - ${\displaystyle {\hat {\textbf {y}}}}$) ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ را کمینه می‌کند استفاده از ${\displaystyle {\textbf {W}}^{-1}{\hat {\textbf {y}}}}$ است.

نحوه طراحی ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ فعلاً بی‌پاسخ است. یک راه آن شناسایی سیستمی که تخمین خطا را تولید می‌کند و قرارداد کردن ${\displaystyle {\textbf {W}}}$ به عنوان معکوس آن سیستم است.[28] این روش می‌تواند جهت محاسبه خطای مربع میانگین استفاده شود تا هزینه فیلتر کاهش یابد. همچنین روش مشابهی جهت یافتن تصفیه‌کننده نیز وجود دارد.