تبدیل زد

شرط وجود تبدیل زد یک سیگنال، همگرایی مطلق سیگنال است. به این منظور شرط زیر باید برآورده شود:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\mid x[n]z^{-n}\mid <\infty }$

این شرط، ناحیه‌ای از صفحهٔ مختلط را در آن مقادیر از z تبدیل وجود دارد را مشخص می‌کند. برای سیگنال‌های دست راستی، ناحیه همگرایی از یک دایره در صفحهٔ مختلط به بیرون است و برای سیگنال‌های دست چپی از دایره‌ای رو به داخل صفحه است. برای سیگنال‌هایی که ترکیبی از این دو نوع سیگنال محسوب می‌شوند، ناحیهٔ همگرایی (در صورت وجود) اشتراک ناحیه‌هایی همگرایی سیگنال‌های سازنده است.

درصورتی که تبدیل زد یک سیگنال وجود داشته باشد و ناحیهٔ همگرایی آن دایرهٔ واحد (${\displaystyle \vert z\vert =1}$) را در بر بگیرد، تبدیل فوریهٔ آن نیز وجود خواهد داشت و رابطهٔ آن با تبدیل زد از تبدیل ${\displaystyle z\rightarrow e^{i\omega }}$ به دست می‌آید.

البته باید توجه داشت که این شرط تنها تبدیل فوریه را با فرض همگرایی مطلق، مشخص می‌کند و در صورت عدم برقرای این شرط نیز، امکان وجود تبدیل فورت با انواع دیگر همگرایی، وجود دارد.

تبدیل زد یک طرفه به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}\ }$

که n عددی طبیعی و z در حالت کلی مختلط است. در پردازش سیگنال هنگامی از تبدیل زد یک طرفه استفاده می‌شود که سیستم علّی باشد.