چندجمله‌ای‌های برنشتاین

n + چند جمله ای های درجه 1 برنشتاین به عنوان n تعریف می شوند

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,}$

جایی که ${\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}$ ضریب دوجمله ای است . به عنوان مثال ، ${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

اولین چند جمله های اساسی برنشتاین برای ترکیب مقدارهای 1 ، 2 ، 3 یا 4 با هم عبارتند از:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

چند جمله ای های پایه برنشتاین درجه n حداکثر مبنایی را برای فضای برداری _{P n} از چند جمله ای های درجه  n با ضرایب واقعی تشکیل می دهد. ترکیبی خطی از چند جمله ای مبتنی برنشتاین

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

در فرم درجه Bernnstein چند جمله ای یا چند جمله ای Bernstein از درجه  n [1] نامیده می شود. ضرایب ${\displaystyle \beta _{\nu }}$ ضرایب برنشتاین یا ضرایب بزیر نامیده می شوند.

از اولین چند جمله ای های مبتنی برنشتاین در زیر آمده است که از بالا، دارای فقط یک جمله هستند:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}}$

چند جمله ای های برنشتاین دارای ویژگی های زیر است:

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$ ، اگر ${\displaystyle \nu <0}$ یا ${\displaystyle \nu >n.}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$ برای ${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$ و ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$ جایی که ${\displaystyle \delta }$ تابع دلتا Kronecker است: ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ ریشه ای با کثرت ${\displaystyle \nu }$ در نقطه ${\displaystyle x=0}$ دارد.(توجه داشته باشید: اگر ${\displaystyle \nu =0}$ ، هیچ ریشه ای در 0 وجود ندارد).

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ ریشه ای با کثرت دارد ${\displaystyle \left(n-\nu \right)}$ در نقطه ${\displaystyle x=1}$ (توجه داشته باشید: اگر ${\displaystyle \nu =n}$ ، در 1 ریشه وجود ندارد).

• مشتق را می توان به عنوان ترکیبی از دو چند جمله ای درجه پایین نوشت:

  ${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).}$

• تبدیل چند جمله ای برنشتاین به یک جمله است

  ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$

و تحول دوجمله ای معکوس توسط تبدیل معکوس، عبارت است از: [2]

${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$

• انتگرال نامعین توسط داده می شود

  ${\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}$

• انتگرال مشخص، برای n مشخص شده به صورت زیر تعریف میشود:

  ${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.}$

• اگر ${\displaystyle n\neq 0}$ ، سپس ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ در این فاصله حداکثر محلی منحصر به فرد دارد ${\displaystyle [0,\ 1]}$ در ${\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}$ . این حداکثر مقدار زیر را می گیرد:

  ${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$

• چند جمله ای های درجه برنشتاین ${\displaystyle n}$ تقسیم وحدت را تشکیل دهید :

  ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}$

• با گرفتن اولین مشتق ${\displaystyle x}$ از ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ ، و تلقی ${\displaystyle y}$ به عنوان ثابت ، سپس با جایگزین کردن ${\displaystyle y=1-x}$ ، می توان نشان داد که

  ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.}$

• به همین ترتیب چ مشتق دوم ${\displaystyle x}$ از ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ ، با جایگزین شدن دوباره ${\displaystyle y}$ با عبارت ،${\displaystyle y=1-x}$ ، نشان میدهد که

  ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.}$

• یک چند جمله ای برنشتاین را همیشه می توان به صورت ترکیبی خطی از چند جمله ای های درجه بالاتر نوشت:

  ${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$

• گسترش چندجملهای چبیشف نوع اول به مبنای برنشتاین [3]

  ${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).}$

ƒ را به عنوان یک تابع پیوسته در بازه [0، 1] چند جمله ای برنشتاین را در نظر بگیرید

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

می توان نشان داد که

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}$

به طور یکنواخت در فاصله [0 ، 1] [4] [1] [5] [6]

چند جمله ای های برنشتاین یک روش برای اثبات قضیه تقریب Weierstrass ارائه می دهد که هر تابع مداوم با ارزش واقعی در یک بازه واقعی [ a ، b ] را می توان با توابع چند جمله ای ${\displaystyle \mathbb {R} }$بیش از یکنواخت تقریب زد  . [7]

در بیانی عمومی تر برای یک تابع با K مستمر ^هفتم مشتق

${\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}$

علاوه بر این

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}$

یک مقدار ویژه B _{n است} ؛ عملکرد ویژه مربوط به آن چند جمله ای درجه است ک

چند جمله ای های Bernstein را می توان به ابعاد k تعمیم داد. چند جمله ای های بدست آمده به شکل P_i1(x₁) P_i2(x₂) ... P_ik(x_k) P_i1(x₁) P_i2(x₂) ... P_ik(x_k) P_i1(x₁) P_i2(x₂) ... P_ik(x_k) P_i1(x₁) P_i2(x₂) ... P_ik(x_k) [15] در ساده ترین حالت فقط محصولات فاصله واحد [0,1] در نظر گرفته می شوند. اما ، با استفاده از تبدیل های آفینی خط ، چندین جمله های برنشتاین را می توان برای محصولات [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × ... × [a_k, b_k] . برای یک تابع مداوم f روی محصول برابر k برابر واحد ، اثبات اینکه f(x₁, x₂, ..., x_k) می تواند به طور یکسان تقریب شود

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}})x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

گسترش مستقیم اثبات برنشتاین در یک بعد است. [16]

• درون یابی چند جمله ای
• فرم نیوتن
• فرم لاگرانژ
• Binomial QMF

1. Lorentz 1953
2. Mathar, R. J. (2018). "Orthogonal basis function over the unit circle with the minimax property". arXiv:1802.09518.
3. Rababah, Abedallah (2003). "Transformation of Chebyshev-Bernstein Polynomial Basis". Comp. Meth. Appl. Math. 3: 608–622. doi:10.2478/cmam-2003-0038.
4. Natanson (1964) p. 6
5. Feller 1966
6. Beals 2004
7. Natanson (1964) p. 3
8. Bernstein 1912
9. Feller 1966
10. Lorentz 1953
11. Beals 2004
12. Goldberg 1964
13. Akhiezer 1956
14. Burkill 1959
15. Lorentz 1953
16. Hildebrandt, T. H.; Schoenberg, I. J. (1933), "On linear functional operations and the moment problem for a finite interval in one or several dimensions", Annals of Mathematics, 34: 327

• Bernstein, S. (1912), "Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités (Proof of the theorem of Weierstrass based on the calculus of probabilities)" (PDF), Comm. Kharkov Math. Soc., 13: 1–2, English translation
• Lorentz, G. G. (1953), Bernstein Polynomials, University of Toronto Press
• Akhiezer, N. I. (1956), Theory of approximation, Frederick Ungar, pp. 30–31, Russian edition first published in 1940
• Burkill, J. C. (1959), Lectures On Approximation By Polynomials (PDF), Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, pp. 7–8
• Goldberg, Richard R. (1964), Methods of real analysis, John Wiley & Sons, pp. 263–265
• Caglar, Hakan; Akansu, Ali N. (July 1993). "A generalized parametric PR-QMF design technique based on Bernstein polynomial approximation". IEEE Transactions on Signal Processing. 41: 2314–2321. doi:10.1109/78.224242. Zbl 0825.93863.
•  
•  
• Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, Vol, II, John Wiley & Sons, pp. 149–150, 218–222
• Beals, Richard (2004), Analysis. An introduction, Cambridge University Press, pp. 95–98, ISBN 0521600472

• Kac, Mark (1938). "Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein". Studia Mathematica. 7: 49–51. doi:10.4064/sm-7-1-49-51.
• Kelisky, Richard Paul; Rivlin, Theodore Joseph (1967). "Iteratives of Bernstein Polynomials". Pacific Journal of Mathematics. 21: 511. doi:10.2140/pjm.1967.21.511.
•  
• Petrone, Sonia (1999). "Random Bernstein polynomials". Scand. J. Stat. 26: 373–393. doi:10.1111/1467-9469.00155.
• Oruc, Halil; Phillips, Geoerge M. (1999). "A generalization of the Bernstein Polynomials". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 42: 403–413. doi:10.1017/S0013091500020332.
• Joy, Kenneth I. (2000). "Bernstein Polynomials" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2012-02-20. Retrieved 2009-02-28. from University of California, Davis. Note the error in the summation limits in the first formula on page 9.
• Idrees Bhatti, M.; Bracken, P. (2007). "Solutions of differential equations in a Bernstein Polynomial basis". J. Comput. Appl. Math. 205: 272–280. doi:10.1016/j.cam.2006.05.002.
• Casselman, Bill (2008). "From Bézier to Bernstein". Feature Column from American Mathematical Society
• Acikgoz, Mehmet; Araci, Serkan (2010). "On the generating function for Bernstein Polynomials". AIP Conf. Proc. 1281: 1141. doi:10.1063/1.3497855.
• Doha, E. H.; Bhrawy, A. H.; Saker, M. A. (2011). "Integrals of Bernstein polynomials: An application for the solution of high even-order differential equations". Appl. Math. Lett. 24: 559–565. doi:10.1016/j.aml.2010.11.013.
• Farouki, Rida T. (2012). "The Bernstein polynomial basis: a centennial retrospective". Comp. Aid. Geom. Des. 29: 379–419. doi:10.1016/j.cagd.2012.03.001.
• Chen, Xiaoyan; Tan, Jieqing; Liu, Zhi; Xie, Jin (2017). "Approximations of functions by a new family of generalized Bernstein operators". J. Math. Ann. Applic. 450: 244–261. doi:10.1016/j.jmaa.2016.12.075.
• Weisstein, Eric W. "Bernstein Polynomial". MathWorld.
• This article incorporates material from properties of Bernstein polynomial on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.