علم شبکه

در ابتدا ارتش ایالات متحده آمریکا در سال ۱۹۹۶ به جنگ‌افزارهای شبکه محور به عنوان مفهومی عملیاتی مبتنی بر علم شبکه علاقه‌مند شد. جان پارمنتولا ریاست مدیریت تحقیقات و آزمایشگاه ارتش ایالات متحده آمریکا در ۱ دسامبر ۲۰۰۳ به شورای علم و فناوری ارتش(به انگلیسی: (Army’s Board on Science and Technology (BAST) پیشنهاد داد که علم شبکه به یک حوزه جدید تحقیقات ارتش تبدیل شود. شورای علم و فناوری ارتش یک مطالعه انجام داد تا ببیند آیا شناسایی و تأمین مالی یک حوزه جدید تحقیق در تحقیقات پایه علم شبکه می‌تواند شکاف بین آنچه برای انجام عملیات‌های شبکه محور نیاز است و دانش ابتدایی کنونی در مورد شبکه‌ها را ببندد.

نتیجه این تحقیقات تعریف حوزهٔ جدید تحقیقات پایه علم شبکه برای ارتش بود. بر اساس یافته‌ها و توصیه‌های این مطالعه منابع تحقیقاتی ارتش به منظور ایجاد یک برنامه تحقیقاتی جدید در حوزه علم شبکه، اختصاص داده شدند. برای ایجاد یک مبنای نظری جدید برای شبکه‌های پیچیده، برخی از تحقیقات کلیدی که در حال حاضر در آزمایشگاه‌های ارتش انجام می‌شود، عبارتند از:

• مدل‌های ریاضی مربوط به رفتار شبکه که برای پیش‌بینی عملکرد، با استفاده از اندازه شبکه، پیچیدگی و محیط مربوطه، به کار می‌روند.
• بهینه‌سازی عملکرد انسان برای استفاده از جنگ‌افزارهای تحت شبکه.
• شبکه سازی داخل اکوسیستم‌ها و همین‌طور در سطح مولکولی درون سلول‌ها.

اندازه شبکه می‌تواند به تعداد راس‌ها ${\displaystyle N}$یا در موارد کمتر معمول به تعداد یال‌ها ${\displaystyle E}$که می‌تواند مقداری از ${\displaystyle N-1}$(یک درخت) تا ${\displaystyle E_{\max }}$(گراف کامل) داشته باشد.

چگالی ${\displaystyle D}$یک شبکه به عنوان نسبت تعداد یال‌ها ${\displaystyle E}$به تعداد یال‌های ممکن در شبکه ای با ${\displaystyle N}$راس تعریف می‌شود. تعداد یال‌های ممکن توسط فرمول ضریب دوجمله‌ای ${\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}$ محاسبه می‌شود، یعنی خواهیم داشت ${\displaystyle D={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}.}$ . فرمول دیگر محاسبه عبارت است از ${\displaystyle D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},}$ که در آن ${\displaystyle T}$ یک طرفه است(Wasserman & Faust 1994). این مدل یک نشان کلی بهتر برای چگالی شبکه است، زیرا روابط دارای جهت قابل اندازه‌گیری است.

چگالی ${\displaystyle D}$شبکه، جایی که هیچ تقاطعی بین یال‌ها وجود ندارد، به عنوان نسبت تعداد یال‌ها ${\displaystyle E}$به تعداد یال‌های ممکن در شبکه با ${\displaystyle N}$راس تعریف می‌شود. اگر یک گراف بدون تقاطع را در نظر بگیریم ${\displaystyle (E_{\max }=3N-6)}$، بدین ترتیب چگالی برابر خواهد شد با ${\displaystyle D={\frac {E-N+1}{2N-5}}}$.

درجه ${\displaystyle k}$یک راس، برابر است با تعداد یال‌هایی که به آن راس وصل هستند. میانگین درجه‌های شبکه رابطه نزدیکی با تراکم شبکه دارد به طوری که داریم ${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}}$. در مدل گراف تصادفی ER اگر میانگین درجه‌ها را محاسبه کنیم خواهیم داشت ${\displaystyle \langle k\rangle =p(N-1)}$، و ${\displaystyle p}$احتمال این است که دو راس به یکدیگر وصل هستند یا خیر.

میانگین طول مسیر با یافتن کوتاه‌ترین مسیر بین تمام جفت راس‌ها، اضافه کردن آن‌ها و سپس تقسیم بر تعداد کل جفت‌ها محاسبه می‌شود. این مشخصه به ما نشان می‌دهد که برای رفتن از یک راس به راس دیگر در شبکه، به‌طور متوسط چند قدم لازم است.

به عنوان یکی دیگر از ابزار اندازه‌گیری نمودار شبکه، ما می‌توانیم قطر یک شبکه را به عنوان طولانی‌ترین از تمام کوتاهترین مسیرهای محاسبه شده در شبکه تعریف کنیم. . این کوتاهترین فاصله بین دو راس دورتر در شبکه است. به عبارت دیگر، زمانی که کوتاه‌ترین طول مسیر از هر راس به تمام راس‌های دیگر محاسبه می‌شود، قطر طولانی‌ترین طول مسیر محاسبه شده‌است. قطر نشان دهنده اندازه خطی یک شبکه است.

ضریب خوشگی معیاری است برای نشان دادن این ویژگی که «همهٔ دوستان من یکدیگر را می‌شناسند». گاهی اوقات ضریب خوشگی به صورت دوستان دوست من، دوست من هم هستند توصیف می‌شود. به‌طور دقیق‌تر ضریب خوشگی یک راس به نسبت یال‌های موجود بین همسایه‌ها به بیشینه یال‌های ممکن بین همسایه‌های یک راس گفته می‌شود. ضریب خوشگی بالا در یک شبکه، نشانه دیگری از یک شبکه دنیای کوچک است.

ضریب خوشگی راس ${\displaystyle i}$ به صورت زیر است:

${\displaystyle C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,}$

که ${\displaystyle k_{i}}$ تعداد همسایه‌های راس ${\displaystyle i}$ و ${\displaystyle e_{i}}$ تعداد یال‌های بین این همسایه‌ها است. بیشینه تعداد یال‌های بین همسایه‌ها به صورت زیر است:

${\displaystyle {\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.}$

نحوه اتصال راس‌های یک شبکه به یکدیگر نقش مهمی در تحلیل و تفسیر شبکه‌ها دارد. شبکه‌ها در چهار دسته مختلف طبقه‌بندی می‌شوند:

• گراف کامل: یک شبکه کاملاً متصل که همهٔ راس‌های آن به هم متصل‌اند. این شبکه‌ها از این جهت که همهٔ راس‌ها یال‌هایی از دیگر راس‌ها و یال‌هایی به دیگر راس‌ها دارند متقارن هستند.
• جزء غول پیکر: یک جزء متصل که حاوی بسیاری از راس‌ها در شبکه است.
• جزء متصل ضعیف: مجموعه ای از راس‌ها است که در آن حداقل یک مسیر، بدون در نظر گرفتن جهت یال‌ها بین دو راس وجود دارد.
• جزء کاملاً متصل: مجموعه ای از راس‌ها است که در آن مسیری جهت‌دار بین همه راس‌ها وجود دارد.

شاخص‌های مرکزیت، رتبه‌بندی را به وجود می‌آورند که به دنبال شناسایی مهم‌ترین راس‌ها در یک مدل شبکه هستند. شاخص‌های مختلف مرکزیت مفاهیم مختلفی را برای کلمه «اهمیت» تعریف می‌کنند. به عنوان مثال مرکزیت بینابینی راسی را مهم در نظر می‌گیرد که بین راس‌های زیاد دیگری پل به وجود بیاورد. مرکزیت ویژه مقداری به‌طور خلاصه راسی که راس‌های مهم دیگری به آن متصل باشند را مهم قلمداد می‌کند. صدها معیار اینچنینی در ادبیات علم شبکه پیشنهاد شده‌است.

شاخص‌های مرکزیت برای شناسایی مرکزی‌ترین راس‌ها دقت دارند. این معیارها به ندرت برای دیگر راس‌های شبکه با معنی هستند. همچنین این شاخص‌ها فقط در همان تعریفی که از مفهوم اهمیت دارند دقیق هستند و در تعاریف دیگر اشتباهات زیادی دارند. به عنوان مثال دو جامعه جدا از هم را در نظر بگیرید که تنها ارتباط آن‌ها ارتباط جوان‌ترین عضو این دو جامعه با یکدیگر است از آنجایی که هرگونه انتقال از یک جامعه به جامعه دیگر باید از این اتصال بگذرد پس دو عضو جوان مرکزیت بینابینی بالایی خواهند داشت اما از آنجایی که آن‌ها جوان هستند احتمالاً ارتباطات کمی با راس‌های مهم در جامعه خودشان دارند یعنی مرکزیت ویژه مقداری آن‌ها بسیار کم خواهد بود.

مفهوم مرکزیت در زمینه شبکه‌های ایستا بر پایه پژوهش‌های عددی و تئوری به مرکزیت پویا، در زمینه شبکه‌های وابسته به زمان و شبکه‌های موقت، تأمین داده شده‌است.

محدودیت‌های معیارهای مرکزیت منجر به توسعه معیارهای کلی‌تری شده‌است دو مثال از تاثیر راس یکی دسترسی است که برای اندازه‌گیری میزان دسترسی یک راس به بقیه شبکه از تنوع ولگشت‌های تصادفی استفاده می‌کند. مثال دیگر نیروی چشم‌داشتی است که از چشم‌داشتی نیروی سرایت تولید شده توسط یک راس، به دست می‌آید. هر دوی این مؤلفه‌ها می‌توانند از ساختار شبکه به تنهایی به‌طور معنی دار محاسبه شوند.

مدل اردوش-رنیی که با ۴ راس تولید شده‌است. برای هر یال در گراف کامل تشکیل شده توسط تمام ${\displaystyle N}$راس، یک عدد تصادفی تولید می‌شود و با یک احتمال داده شده مقایسه می‌گردد. اگر عدد رندم کمتر از احتمال ${\displaystyle P}$بود، یال در شبکه می‌ماند.

مدل اردوش-رنیی که به نام پال اردوش و آلفرد رنیی نامگذاری شده‌است، برای تولید گراف‌های تصادفی استفاده می‌شود که در آن یال‌ها بین راس‌ها با احتمال یکسان توزیع می‌شود. این نوع گراف را می‌توان در روش احتمالاتی برای اثبات وجود گراف‌هایی که خواص‌های مختلف را رعایت می‌کنند، یا برای تعریف دقیق معنای یک ویژگی برای تقریباً تمام گراف‌ها استفاده می‌شود.

برای ساختن مدل اردوش-رنیی ${\displaystyle G(n,p)}$دو پارامتر باید مشخص شوند: تعداد کل راس‌های گراف n و احتمال p که تعیین می‌کند یک زوج راس تصادفی با چه احتمالی یال خواهند داشت. از آنجایی که این مدل بدون اینکه راس خاصی را مورد توجه قرار دهد تولید می‌شود، توزیع درجه‌ها دوجمله‌ای خواهد شد: برای یک راس تصادفی انتخاب شده ${\displaystyle v}$داریم که : ${\displaystyle P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.}$

در این مدل ضریب خوشه‌بندی صفر 0 است(قریب به یقین!). رفتار گراف ${\displaystyle G(n,p)}$ می‌تواند به سه بخش شکسته شود.

پیش‌بحرانی ${\displaystyle np<1}$: تمام اجزاء ساده و بسیار کوچک هستند، بزرگترین جزء دارای اندازه ${\displaystyle |C_{1}|=O(\log n)}$ است.

بحرانی ${\displaystyle np=1}$:${\displaystyle |C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})}$

فرابحرانی${\displaystyle np>1}$: ${\displaystyle |C_{1}|\approx yn}$به طوری که ${\displaystyle y=y(np)}$جواب مثبتی برای معادله ${\displaystyle e^{-pny}=1-y}$است.

بزرگترین مؤلفه متصل دارای پیچیدگی بالایی است. همه اجزای دیگر ساده و کوچک هستند ${\displaystyle |C_{2}|=O(\log n)}$

مدل پیکربندی یک دنباله ای از درجه‌ها یا توزیعی از درجه‌ها را به عنوان ورودی می‌گیرد، و در همه موارد به غیر از توزیع درجه، گراف به صورت تصادفی متصل می‌شود. این به این معنی است که برای یک انتخاب داده شده از توزیع درجه‌ها، گراف به‌طور یکنواخت و به صورت تصادفی از مجموعه ای از تمام گراف‌ها که با این توزیع سازگار است انتخاب می‌شود. درجه ${\displaystyle K}$یک راسی که به صورت تصادفی انتخاب شده، یک متغیر تصادفی مستقل و توزیع یکسان با مقادیر صحیح است.

زمانی که ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$گراف پیکربندی دارای اجزای بزرگ متصل است که دارای اندازه بینهایت هستند. بقیه اجزا دارای اندازه‌های محدودی هستند که می‌توانند با مفهوم توزیع اندازه محاسبه شوند. احتمال ${\displaystyle w(n)}$که یک راس نمونه تصادفی به یک مؤلفه با اندازه ${\displaystyle n}$متصل می‌شود توسط فرمول پیچیدگی توان (به انگلیسی: Convolution power) توزیع درجات داده می‌شود:

$${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}$$

به طوری که ${\displaystyle u(k)}$نشان دهنده توزیع درجه و ${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}}$ . مؤلفه بزرگ را می‌توان با حذف تصادفی یال‌ها با احتمال بحرانی ${\displaystyle p_{c}}$ ازبین برد. این پروسه، تراوش در شبکه‌های تصادفی نام دارد. زمانی که توان دوم توزیع درجه‌ها کمتر از بینهایت باشد،${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$، احتمال بحرانی یال‌ها با فرمول ${\displaystyle p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}}$ داده می‌شود، و میانگین فاصله راس - راس ${\displaystyle l}$ در مؤلفه بزرگ به صورت لگاریتمی با اندازه شبکه رابطه دارد، ${\displaystyle l=O(\log N)}$.

در مدل پیکربندی جهت دار، درجه یک راس با دو عدد داده می‌شود، درجه ورودی ${\displaystyle k_{\text{in}}}$ و درجه خروجی ${\displaystyle k_{\text{out}}}$و در نتیجه توزیع درجات دارای دو متغیر است. تعداد یال‌های ورودی و خروجی که به‌طور هم‌زمان روی می‌دهند، پس ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$. مدل پیکربندی جهت دار شامل مؤلفه بزرگ خواهد بود اگر:

$${\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}$$

توجه داشته باشید که ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}$و ${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$برابر هستند به همین علت در نابرابری دوم قابل تعویض هستند. احتمال آنکه یک راس که تصادفی انتخاب شده‌است به مؤلفه ای با اندازه ${\displaystyle n}$ متصل باشد برابر است با:

$${\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),}$$

برای مؤلفه ای که جهت آن به سمت داخل است و

${\displaystyle h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),}$

برای مؤلفه ای که جهت آن به سمت خارج راس است.

مدل واتس-استرگاتز از مفهوم بازنشانی برای رسیدن به این ساختار استفاده می‌کند. سازنده این مدل از طریق هر یال در ساختار شبکه اصلی بازنشانی را تکرار می‌کند. یک یال می‌تواند راس‌های متصل به خود را با توجه به یک احتمالی تغییر دهد . ${\displaystyle <K>=4}$ برای مثال.

مدل واتس و استروگاتز یک مدل تولید گراف تصادفی است که گراف‌هایی را با خواص مدل دنیای کوچک تولید می‌کند. یک ساختار اولیه شبکه برای تولید مدل واتس-استروگاتر استفاده می‌شود. هر راس در شبکه ابتدا به ${\displaystyle \langle k\rangle }$همسایه خود وصل است. پارامتر دیگر به عنوان احتمال بازنشانی مشخص می‌شود. هر یال دارای احتمال ${\displaystyle p}$ است که گراف به عنوان یک یال تصادفی اضافه می‌شود. تعداد یال‌های بازنشانی شده در این مدل برابر است با:

${\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2}$

همان‌طور که مدل واتس-استروگاتز به عنوان یک ساختار غیر تصادفی شبکه ساخته می‌شود، دارای ضریب خوشه‌گی بسیار بالا همراه با طول متوسط مسیر بالاست. هر بازنشانی احتمال دارد یک میانبر میانبر میان خوشه‌های بسیار متصل ایجاد می‌کند. زمانی که احتمال بازنشانی افزایش پیدا می‌کند، ضریب خوشه‌گی از میانگین طول مسیر با سرعت کمتری کاهش پیدا می‌کند. در واقع، به این شکل اجازه می‌دهد تا میانگین طول مسیر شبکه به‌طور قابل توجهی کاهش یابد در صورتی که ضریب خوشه‌گی کمی کاهش یافته‌است. مقدار بالاتر ${\displaystyle p}$ باعث می‌شود تعداد بیشتری یال تعویض شود و به همین سبب مدل واتس-استروگاتز تبدیل به یک شبکه تصادفی گردد.

مدل باراباشی-آلبرت یک مدل شبکه تصادفی است که برای نشان دادن اثر اتصال ترجیحی یا «ثروتمند ثروتمند تر می‌شود» استفاده شده‌است. در این مدل یک یال به احتمال بیشتری به یک راس با درجه بالاتر متصل می‌شود. این شبکه با یک شبکه اولیه با m₀ راس که m₀ ≥ ۲، شروع می‌شود و درجه هر راس در شبکه اولیه حداقل باید ۱ باشد، در غیر اینصورت آن راس همیشه بدون اتصال به شبکه باقی می‌ماند.

در مدل باراباشی-آلبرت راس‌های جدید به صورت هر راس در یک واحد زمان به شبکه اضافه می‌شوند هر راس جدید به ${\displaystyle m}$راس که از قبل در شبکه وجود دارد با احتمال متناسب با تعداد یال‌های آن راس متصل می‌شود. احتمال p_i که راس جدید به راس i متصل است با رابطه زیر داده می‌شود:

${\displaystyle p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},}$

که k_i درجه راس i است. راس‌هایی که یال‌های زیادی دارند (قطب (به انگلیسی: Hub)) تمایل دارند تا به سرعت یال‌های بیشتری را جمع‌آوری کنند. در حالی که راس‌هایی که تنها تعداد کمی یال دارند، بعید است که به عنوان مقصد یک یال جدید انتخاب شوند. راس‌های جدید یک ترجیح برای اتصال خودشان به راس‌های با یال‌های زیاد دارند.

توزیع درجاتی که از یک مدل باراباشی-آلبرت نتیجه می‌شود بی مقیاس است. به‌طور خاص این توزیع قانون توانی(به انگلیسی: Power law) به شکل زیر است:

${\displaystyle P(k)\sim k^{-3}\,}$

قطب‌ها مرکزیت بینابینی بالایی را از خود نشان می‌دهند که اجازه می‌دهد مسیرهای کوتاه بین راس‌ها وجود داشته باشد. به عنوان یک نتیجه مدل باراباشی-آلبرت تمایل دارد تا میانگین کوتاه‌ترین طول مسیرهای پایینی داشته باشد. ضریب خوشگی این مدل هم به صفر میل می‌کند. در حالیکه قطر بسیاری از مدل‌ها شامل مدل گراف تصادفی اردوش-رنیی و چندین مدل دنیای کوچک دیگر با لگاریتم N متناسب است، مدل باراباشی-آلبرت D~loglogN (دنیای فوق‌العاده کوچک) را نشان می‌دهد. توجه داشته باشید که میانگین طول مسیر با N، به عنوان قطر مقیاس می‌شود.

در مدل اتصال با واسطه یک راس جدید با ${\displaystyle m}$یال یک راس متصل به شبکه را تصادفی انتخاب می‌کند سپس خودش را به ${\displaystyle m}$همسایه آن راس که آن‌ها هم تصادفی انتخاب می‌شوند وصل می‌کند. احتمال ${\displaystyle \Pi (i)}$که راس ${\displaystyle i}$ انتخاب شود با رابطه زیر داده می‌شود:

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}{\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}.}$

عامل ${\displaystyle {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}}$معکوس میانگین هماهنگ (به انگلیسی: (inverse of the harmonic mean (IHM) درجات، ${\displaystyle k_{i}}$ همسایه راس ${\displaystyle i}$ است.

مطالعات گسترده عددی نشان می‌دهد که برای تقریباً ${\displaystyle m>14}$ میانگین IHM در حد ${\displaystyle N}$های بزرگ به یک ثابت تبدیل می‌شود یعنی ${\displaystyle \Pi (i)\propto k_{i}}$. این بدان معنی است که چون با واسطه‌های بیشتری می‌توان به راسی با یال‌های (درجه) بیشتر رسید، پس این راس شانس بالاتری برای گرفتن یال‌های بیشتر دارد، که این اساساً همان ایده اولیه «ثروتمند ثروتمندتر می‌شود» (یا قانون اتصال ترجیحی مدل باراباشی-آلبرت) است.

از این رو می‌توان دید که شبکه MDA به صورت مبدل از قانون اتصال ترجیحی پیروی می‌کند.

با این حال ${\displaystyle m=1}$ این مکانیسم که برنده همه را می‌برد را توصیف می‌کند. به این صورت که می‌بینیم تقریباً ۹۹٪ راس‌ها درجه ۱ و یک راس درجه خیلی بزرگ دارد. با افزایش ${\displaystyle m}$تفاوت بین ثروتمند و فقیر کاهش می‌یابد و برای ${\displaystyle m>14}$ یک گذار از ثروتمند، فوق‌العاده ثروتمند می‌شود به ثروتمند ثروتمندتر می‌شود اتفاق می‌افتد.

مدل دیگری است که عنصر کلیدی آن ماهیت راس است و توسط کالدارلی و همکاران معرفی شده‌است. در این مدل با احتمالی که با تابع اتصال ${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})}$، که تابعی از سازگاری راس‌های درگیر است، داده می‌شود یک یال بین دو راس ${\displaystyle i,j}$ساخته می‌شود. درجه راس i به صورت زیر داده می‌شود:

${\displaystyle k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}}$

اگر ${\displaystyle k(\eta _{i})}$ یک تابع معکوس پذیر و افزایشی از ${\displaystyle \eta _{i}}$باشد پس برای توزیع احتمال ${\displaystyle P(k)}$ داریم:

${\displaystyle P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)}$

بنابراین اگر سازگاری ${\displaystyle \eta }$به صورت قانون توانی توزیع شده باشد پس درجه راس‌ها نیز همین گونه هستند.

با یک توزیع احتمال به شکل ${\displaystyle \rho (\eta )=e^{-\eta }}$ و یک تابع اتصال از نوع

${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)}$

با ${\displaystyle Z}$ به عنوان یک ثابت و ${\displaystyle \Theta }$ به عنوان تابع پله هویساید می‌توانیم یک شبکه بی‌مقیاس به دست آوریم.

این نوع مدل برای توصیف تجارت بین کشورها و استفاده از GDP به عنوان سازگاری راس‌های ${\displaystyle i,j}$ و تابع اتصال به صورت

${\displaystyle {\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.}$

با موفقیت مورد استفاده قرار گرفته‌است.

تحلیل شبکه‌های اجتماعی (به انگلیسی: Social network analysis)، ساختار روابط بین نهادهای اجتماعی را بررسی می‌کند. این نهادها اغلب افراد هستند، اما ممکن است گروه‌ها، سازمان‌ها، ایالتهای‌ملی، وب‌سایت‌ها، نشریات علمی نیز باشند.

از دههٔ ۱۹۷۰ مطالعه تجربی شبکه‌ها نقش مهمی در علوم اجتماعی ایفا کرده‌است، و بسیاری از ابزارهای ریاضی و آمار مورد استفاده در مطالعهٔ شبکه‌ها ابتدا در حوضهٔ جامعه‌شناسی توسعه یافتند. از جمله کاربردهای فراوان، از تحلیل شبکه‌های اجتماعی برای درک نحوهٔ انتشار نوآوری‌ها، اخبار و شایعه‌ها، بررسی نحوهٔ شیوع بیماری‌ها و درمان متناظر با آن‌ها، مطالعهٔ بازارها در تبادل روابط و مکانیسم‌های اجتماعی در تنظیم قیمت‌ها، مطالعه استخدام‌ها در جنبش‌های سیاسی و سازمان‌های اجتماعی، تفهیم اختلافات علمی در کنار اعتبار دانشگاهی استفاده شده‌است. اخیراً تحلیل شبکه در کنار تحلیل ترافیک استفاده قابل توجهی در اطلاعات نظامی برای کشف شبکه‌های شورشی، چه نظام‌مند و چه بدون رهبر کسب کرده‌است.

تحلیل شبکه‌های پویا (به انگلیسی: Dynamic network analysis) ساختار متغیر روابط بین طبقات مختلف نهادها را در خواص سامانه‌های پیچیده اجتماعی_فنی بررسی می‌کند و عواملی مانند ثبات اجتماعی و تغییراتی مانند ظهور گروه‌ها، موضوعات و رهبران جدید را نشان می‌دهد.

تحلیل شبکه‌های پویا بر روی متا شبکه‌ها متشکل از انواع مختلف راس‌ها (نهادها) و انواع مختلف پیوندها (یال‌ها) متمرکز است. این راس‌ها (نهادها) می‌توانند بسیار متنوع باشند همچون افراد، سازمان‌ها، موضوعات، منابع، وظایف، حوادث، مکان‌ها و باورها.

تکنیک‌های تحلیل شبکه پویا بخصوص برای ارزیابی روند و تغییرات شبکه‌ها در طول زمان، شناسایی رهبران پیشرو و بررسی هماهنگی مردم و ایده‌ها مفید هستند.

اخیراً با زیاد شدن داده‌های بیولوژیکی، تحلیل شبکه‌های مولکولی توجه زیادی را به‌خود جلب کرده‌است. نوع تحلیل در این شبکه‌ها بسیار شبیه تحلیل شبکه‌های اجتماعی است به نحوی که در این نوع تحلیل، الگوهای محلی شبکه‌ها اغلب مورد تمرکز است. برای مثال شکل عمدهٔ شبکه (موتیف شبکه)، زیرگراف‌های کوچکی هستند که در شبکه بیش از حد نمایان می‌شوند. موتیف‌های فعال الگوهای شبیه به‌هم هستند که خواص یکسانی از راس‌ها و یال‌ها را در ساختار شبکه دارند. این تحلیل شبکه‌های بیولوژیکی منجر به توسعهٔ شبکه‌های دارویی شده‌است که به بررسی تأثیرات بیماری‌ها در تعامل می‌پردازد.

تحلیل پیوند (یال) (به انگلیسی: Link analysis) یک زیرگروه از تحلیل شبکه است که ارتباط بین اشیا (راس‌ها) را مورد بررسی قرار می‌دهد. برای مثال برای پیدا کردن آدرس‌های مظنونین و قربانیان، شماره تلفن‌هایی که این اشخاص با آن‌ها تماس گرفته‌اند و معاملات مالی‌ای که طی یک دوره زمانی معین انجام داده‌اند و همچنین روابط خانوادگی بین این افراد به‌عنوان بخشی از تحقیقات پلیس در نظر گرفته می‌شود. تحلیل پیوند (یال) روابط حساس و ارتباطات بسیار مهمی بین اشیا (راس‌ها) مختلف پیدا می‌کند که به‌طور آشکار در اطلاعات مجرد اولیه موجود نیست.

تحلیل پیوند (یال) با استفاده از کامپیوتر به‌طور اتوماتیک به‌طور فرایندهای توسط بانک‌ها و آژانس‌های بیمه برای تشخیص تقلب، اپراتورهای مخابراتی درتحلیل شبکه مخابراتی، بخش پزشکی در اپیدمیولوژی و فارماکولوژی، موتورهای جستجو برای رتبه‌بندی مربوط به تحقیقات اجرای قانون، برعکس توسط اسپم‌ها و صاحبان کسب و کار برای بهینه‌سازی موتورهای جستجو، و در هر جای دیگر که در آن روابط بین اشیا (راس‌ها) باید تجزیه و تحلیل شوند، استفاده می‌شود.

مقاومت ساختاری شبکه (به انگلیسی: Network robustness) با استفاده از نظریه تراوش انجام می‌شود. هنگامی که یک بخش بحرانی از راس‌ها حذف شود، شبکه به خوشه‌های کوچک تقسیم می‌شود. این فرایند تراوش نام دارد و انواع گذار فاز از نظر منظم-غیرمنظم را با نمای بحرانی مربوطه توصیف می‌کند.

مدل SIR یکی از شناخته‌شده‌ترین الگوریتم‌های پیش‌بینی گسترش همه‌گیری‌های جهانی داخل یک جامعه عفونی است.

${\displaystyle S=\beta \left({\frac {1}{N}}\right)}$

فرمول بالا مقدار نیروی عفونت را برای هر واحد حساس در یک جامعه عفونی توصیف می‌کند، که در آن β برابر میزان انتقال بیماری است.

برای پیدا کردن تغییر تعداد واحدهای حساس در یک جامعه عفونی از رابطه زیر استفاده می‌شود:

${\displaystyle \Delta S=\beta \times S{1 \over N}\,\Delta t}$

با توجه به مدل SIR اینکه یک جامعه از یک بیماری فراگیر بهبود یابد وابسته به مقدار ${\displaystyle R_{0}}$ تعداد میانگین افراد آلوده بر روی تعداد افراد آلوده

${\displaystyle R_{0}=\beta \tau ={\beta \over \mu }}$

بسیاری از الگوریتم‌های رتبه‌بندی وبسایت‌ها از معیارهای مرکزیت پیوند (یال)ها استفاده می‌کنند. از جمله (به ترتیب) موتور جستجو مارجوری، رتبه‌بندی گوگل، الگوریتم HITS کلینبرگ، الگوریتم‌های CheiRank و TrustRank.

تحلیل یال در علوم اطلاعات و ارتباطات نیز به منظور درک و استخراج اطلاعات از ساختار مجموعه ای از صفحات وب انجام می‌شود. برای مثال تحلیل روابط بین وبسایت‌ها و وبلاگ‌های سیاست‌مداران مختلف.

رتبه‌صفحه (به انگلیسی: PageRank) به این صورت است که راس‌ها یا وبسایت‌هایی به صورت تصادفی انتخاب می‌شوند و با یک احتمال مشخص به صورت تصادفی به راس (وبسایت)های دیگر می‌رود. این انتخاب تصادفی به رتبه‌صفحه کمک می‌کند که از همه مسیرهای شبکه عبور کند و وبسایت‌هایی که به آسانی قابل دیدن نیستند را پیدا کند.

هر راس مانند ${\displaystyle x_{i}}$ یک رتبه‌صفحه دارد که برابر جمع صفحه‌هایی که به آن راس وصل هستند تقسیم بر درجه آن صفحه

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}}$

همان‌طور که در بالا توضیح داده شد، رتبه‌صفحه در حال تلاش برای اختصاص یک رتبهٔ رتبه‌صفحه به هر وب‌سایت در اینترنت است. این پرش‌های تصادفی وب‌سایت‌هایی را پیدا می‌کند که ممکن است با روش‌های جستجوی عادی مانند Breadth-First Search و Depth-First Searchپیدا نشوند.

برای بهبود فرمول فوق برای مشخص کردن رتبه‌صفحه، اجزا پرش تصادفی را باهم جمع می‌کنند. بدون این پرش‌های تصادفی بعضی از صفحه‌ها دارای رتبه‌صفحه صفر می‌شوند که این اصلاً خوب نیست.

در فرمول زیر آلفا احتمال رخ دادن پرش تصادفی است.

${\displaystyle R{(p)}={\alpha \over N}+(1-\alpha )\sum _{j\rightarrow i}{1 \over N_{j}}x_{j}^{(k)}}$

اطلاعات مربوط به اهمیت نسبی راس‌ها و پیوندها در یک گراف می‌تواند از طریق سنجش‌های مرکزیت که بسیار مورد استفاده در رشته‌های جامعه‌شناسی است، حاصل شود. سنجش‌های مرکزیت زمانی مهم می‌شوند که می‌خواهیم به سوالاتی مانند: "کدام راس در شبکه باید مورد هدف قرار گیرد تا اطلاعی یا خبری از طریق این راس بتواند به تمام یا بیشتر راس‌های شبکه برسد؟" پاسخ دهیم. یا برعکس " کدام راس مورد هدف قرار گیرد تا از گسترش یک بیماری جلوگیری شود؟".

از جمله معیارهای اصلی سنجش‌های مرکزیت: درجه راس (به انگلیسی: Degree centrality)، نزدیکی (به انگلیسی: Closeness centrality)، بینابینی (به انگلیسی: Betweenness centrality)، ویژه‌بردار مرکزی (به انگلیسی: Eigenvector centrality) و مرکزیت کاتز (به انگلیسی: Katz centrality). معمولاً هدف و مقصد از تحلیل شبکه استفاده از انواع سنجش‌های مرکزیت را مشخص می‌کند.

درجه راس تعداد یال‌هایی است که وارد آن راس شده‌اند.

نزدیکی یک راس از جمع کوتاه‌ترین فاصله این راس با تمام دیگر راس‌ها بدست می‌آید.

بینابینی اهمیت نسبی یک راس را با استفاده از ترافیکی که آن راس بین بقیه راس‌ها ایجاد کرده‌است بیان می‌کند. این مقدار برابر است با تقسیم تعداد مسیرها بین تمام جفت راس‌ها بر تمام مسیرها بین جفت راس‌هایی که راس مورد نظر را دربردارند.

ویژه‌بردار مرکزی مفهومی مانند درجه راس دارد با این تفاوت که مرکزیت یک راس نه تنها وابسته به تعداد یال‌هایی است که به آن راس وارد می‌شوند، بلکه به کیفیت آن یال‌ها نیز وابسته است. مقدار آن با استفاده از ماتریس مجاورت شبکه بدست می‌آید.

مرکزیت کاتز از جمع تمام مسیرهای ژئودسی بین آن راس و تمام راس‌های قابل دسترس به آن راس بدست می‌آید. این مسیرها وزن‌دار می‌باشند به طوری که وزن مسیرهایی که همسایه مجاور را به آن راس وصل می‌کنند بزرگتر از وزن مسیرهایی است که همسایه‌های دورتر را به آن راس وصل می‌کنند.