مارپیچ لگاریتمی

اسپیرال لگاریتمی نخستین بار توسط رنه دکارت توصیف شد و بعدها توسط یاکوب برنولی به صورت گسترده مورد پژوهش قرار گرفت که وی آنها را مارپیچ لاله عباسی Spira mirabilis، "the marvelous spiral" نامید.

اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.[1]

در دستگاه مختصات قطبی ${\displaystyle (r,\theta )}$ منحنی لگاریتم را می توان نوشت [2]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

یا

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

با عدد e که مبنای طبیعی لگاریتم است و ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ همیشه به صورت مثبت مطلق است.

در حالت پارامتریک منحنی به شرح زیر است

${\displaystyle x(t)=r(t)\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,}$

${\displaystyle y(t)=r(t)\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,}$

با عدد حقیقی ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$.

خصوصیات اسپیرال این است که φ میان

مماس و radial line در نقطه ${\displaystyle (r,\theta )}$ ممتد است خصوصیات را می‌توان در اشکال مختلف هندسی بیان کرد

${\displaystyle \arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arctan {\frac {1}{b}}=\phi .}$

• مارپیچ طلایی

• ویکی‌پدیا انگلیسی