دستگاه مختصات قطبی

یکی از کاربردهای مختصات قطبی در محاسبه انتگرال‌ها می‌باشد. گاهی حل یک انتگرال در دستگاه مختصات دکارتی مشکل است. در این‌گونه شرایط با یک تغییر متغیر مناسب می‌توان انتگرال را در مختصات قطبی حل نمود.

در بسیاری از معادله‌های فیزیکی نیروی مرکزی (حرکت دورانی) مانند چرخش سیاره‌ها از دستگاه قطبی استفاده می‌شود.

یک نقطه در دو نوع مختصات دکارتی و قطبی به صورت زیر به یکدیگر قابل تبدیل هستند:

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta ,\,}$

و برای تبدیل مختصات دکارتی به قطبی از فرمول‌های زیر استفاده می‌شود:

${\displaystyle r^{2}=y^{2}+x^{2}\,}$ (قانون فیثاغورس)

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\end{cases}}}$

بنابراین یک نقطه که توسط دستگاه دکارتی تعریف شده است را می‌توان در دستگاه مختصات قطبی (با توجه به خواص دایره مثلثاتی) به دو صورت تعریف کرد.

یک عدد مختلط را می‌توان همانگونه که در دستگاه مختصات دکارتی به صورت ${\displaystyle z=x+iy\!}$ نمایش می‌دهند به صورت زیر نمایش داد:[1]

${\displaystyle z=r\cdot (cos\theta +isin\theta )\!}$

از طریق فرمول اویلر می‌توان یک عدد مختلط رابه صورت زیر نیز نمایش داد:

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,}$

انواع گل‌ها با a و n متغیر

معادله‌ای که در دستگاه مختصات قطبی صدق کند معادله قطبی نامیده می‌شود معروف‌ترین معادله‌های قطبی عبارتند از:

نام	معادله	تصویر	توضیحات
خط مورب مبدأ گذر	${\displaystyle \theta =C\!}$		C ثابت است و برابر زاویه قطع می‌باشد.
خط موازی محور xها در دستگاه دکارتی	${\displaystyle rsin\theta =b\!}$		b ثابت است.
خط موازی محور yها در دستگاه دکارتی	${\displaystyle rcos\theta =a\!}$		a ثابت است.
دایره به مرکز مبدأ مختصات	${\displaystyle r=C\!}$		C ثابت است و برابر شعاع دایره می‌باشد.
حلزونی‌ها	${\displaystyle r=a+bcos\theta \!}$		a و b ثابت‌اند
گل	${\displaystyle r=acosn\theta \!}$ یا ${\displaystyle r=asinn\theta \!}$		a ثابت است و اگر n فرد باشد گل nپر و اگر زوج باشد گل ۲nپر است.
مارپیچ ارشمیدس	${\displaystyle r=\theta \!}$		-
پروانه	${\displaystyle r^{2}=asin2\theta \!}$ یا ${\displaystyle r^{2}=acos2\theta \!}$	-	-
مقاطع مخروطی مرکزدار	${\displaystyle r={\frac {ed}{1\pm ecos\theta }}}$یا ${\displaystyle r={\frac {ed}{1\pm esin\theta }}}$	-	e برابر خروج از مرکز می‌باشد.
Lemniscate of Bernoulli[3]	${\displaystyle r=a{\sqrt {2\cos(2\theta )}}}$

دلگون‌ها

معادله اصلی دلگون‌ها به صورت ${\displaystyle r=a+bcos\theta \!}$ می‌باشد اگر a و b مثبت باشند دلگون می‌تواند شکل‌های زیر را بگیرد.

شرط	نام	تصویر
${\displaystyle 0<{\frac {a}{b}}<1}$	حلزونی با یک طوقه	-
${\displaystyle {\frac {a}{b}}=1}$	دلوار (قلب شکل)	-
${\displaystyle 1<{\frac {a}{b}}<2}$	حلزونی با یک فرورفتگی	-
${\displaystyle {\frac {a}{b}}>2}$	حلزونی بدون فرورفتگی	-

جهت دلگون‌ها به شکل زیر تعیین می‌شود(a و b مثبت هستند):

چند دلگون در جهات مختلف

شکل معادله	جهت
${\displaystyle r=a+bcos\theta \!}$	راست
${\displaystyle r=a-bcos\theta \!}$	چپ
${\displaystyle r=a+bsin\theta \!}$	بالا
${\displaystyle r=a-bsin\theta \!}$	پایین

مارپیچ‌ها

معروفترین مارپیچ‌ها عبارتند از:

نام	معادله	توضیحات
مارپیچ ارشمیدس	${\displaystyle r=\theta \!}$	-
مارپیچ لگاریتمی	${\displaystyle r=e^{n\theta }\!}$	n ثابت است.
مارپیچ عکس	${\displaystyle r=n{\frac {1}{\theta }}\!}$	n ثابت است.
مارپیچ فرما	${\displaystyle r^{2}=8\theta \!}$	-

• دانشنامه رشد
• Wikipedia contributors, "Polar coordinate system," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polar_coordinate_system&oldid=271752537 (accessed February 20, 2009).