ریشه دوم

• تابع ریشه دوم، ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$، تابعی است از مجموعه اعداد حقیقی غیرمنفی ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$ به خودش.
• تابع ریشه دوم ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ همواره مقداری منحصربه‌فرد برمی‌گرداند.
• برای به دست آوردن هر دو جواب ریشه دوم، ابتدا اولین جواب را به دست آورید و آن را x₁ بنامید، سپس آن را از صفر کم کنید تا x₂ به دست آید (x₂ = ۰ − x₁).
• خواص زیر، مهم‌ترین خواص ریشه دوم هستند که برای هر عدد حقیقی مثبت ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ صحیح هستند:

${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\qquad }$

${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}}$

• ریشه دوم تابعی است از اعداد گویا به اعداد جبری. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ عددی گویا است، اگر و تنها اگر ${\displaystyle x}$ عددی گویا باشد که بتوان آن را به صورت کسری از دو عدد مربع کامل نشان داد. به‌طور کلی، ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ عددی گنگ است.
• در هندسه، تابع ریشه دوم نگاشتی از سطح یک مربع به طول اضلاعش.
• خلاف یک اشتباه رایج، ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}}$ لزوماً برابر ${\displaystyle x}$ نیست. این برابری تنها در مواردی که ${\displaystyle x}$ غیرمنفی باشد صدق می‌کند. اما اگر ${\displaystyle x<0}$ باشد، طبق تعریف ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}}$ است و این یعنی ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=-x}$. در نتیجه برای هر عدد حقیقی ${\displaystyle x}$ داریم ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|}$. (قدرمطلق را ببینید)

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}$

• فرض کنید ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle a}$ اعدادی حقیقی هستند به طوری که ${\displaystyle x^{2}=a}$، و ما می‌خواهیم که ${\displaystyle x}$ را بیابیم. یکی از اشتباهات رایج این است که آن را به «معادله جذر» تبدیل کنیم و از آن ${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$ را نتیجه بگیریم. این کار نادرست است، زیرا ریشه دوم ${\displaystyle x^{2}}$ برابر ${\displaystyle x}$ نیست، بلکه ${\displaystyle \left|x\right|}$ است (طبق یکی از خاصیت‌های فوق). اما ما می‌توانیم بگوییم ${\displaystyle \left|x\right|={\sqrt {a}}}$، و در نتیجه ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}}$.
• در حسابان، مثلاً وقتی می‌خواهیم اثبات کنیم که تابع ما پیوسته یا مشتق‌پذیر یا قابل حدگیری است، می‌توانیم از عبارت زیر استفاده کنیم:

${\displaystyle {\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}},}$

این عبارت برای تمام ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$های نامنفی به طوری که هر دو صفر نباشند صحیح است.

• نمودار تابع ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ به شکل زیر است، این نمودار از نصف یک سهمی ساخته می‌شود:

• تابع در تمام ${\displaystyle x}$های غیرمنفی پیوسته و برای تمام ${\displaystyle x}$های مثبت مشتق‌پذیر است. (در ${\displaystyle x=0}$ مشتق‌پذیر نیست، زیرا شیب نمودار یا همان تانژانت در این نقطه ∞ است) مشتق این تابع برابر است با:

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$

• در سری تیلور ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$ در ${\displaystyle x=0}$ و برای ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ می‌توان از بسط نیوتن استفاده کرد:

${\displaystyle {\sqrt {x+1}}\,\!}$	${\displaystyle =1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!(n-1)!2^{2n-1}}x^{n}}$
	${\displaystyle =1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots }$

مقاله اصلی: روش‌های محاسبه ریشه دوم

امروزه روش‌های بسیاری برای محاسبه ریشه دوم وجود دارد، بعضی از آن‌ها را می‌توان بر روی کاغذ انجام داد و بعضی از آن‌ها هم با ماشین، البته همه ماشین‌حساب‌ها دارای دکمه رادیکال نیستند.

اغلب برای حساب کردن ریشه دوم از بعضی برنامه‌های صفحه‌گسترده کامپیوتر و برخی دیگر از نرم‌افزارها استفاده می‌شود. نرم‌افزارهای کامپیوتری قابلیت محاسبه توابع نمایی و لگاریتم طبیعی را دارند و با استفاده از آن ریشه دوم ${\displaystyle x}$ را محاسبه می‌نمایند، به شکل زیر:

برای محاسبه ریشه دوم می‌توان از خط‌کش مهندسی یا جدول لگاریتم کمک گرفت.

رایج‌ترین روش محاسبه ریشه دوم بر روی کاغذ، استفاده از «روش بابلی» است. این روش از یک عملیات ساده استفاده می‌کند، و هر چه این روش را بیشتر انجام دهید به جواب نزدیک‌تر خواهید شد. برای پیدا کردن ${\displaystyle r}$، ریشه دوم عدد ${\displaystyle x}$:

1. عددی تصادفی انتخاب کنید که اگر به توان دو برسد به عدد ${\displaystyle x}$ نزدیک‌تر باشد. (بهترین عدد، نزدیک‌ترین عدد کمتر از ${\displaystyle x}$ است)
2. جای ${\displaystyle r}$ را با میانگین ${\displaystyle r}$ و x / r عوض کنید.
3. مراحل ۲ و ۳ را تکرار کنید.

مقاله اصلی: عدد مرکب

مربع هر عدد منفی یا مثبت، عددی مثبت و مربع صفر همان صفر است. با این حال از هیچ عدد منفی نمی‌توان جذر گرفت. اما در یک سیستم اعداد بزرگ به نام اعداد مرکب، می‌توان از اعداد منفی هم ریشه دوم گرفت. برای این کار باید نوع جدیدی از عدد را با عنوان یکای مجازی تعریف کرد، که برابر با جذر عدد -۱ است. این عدد معمولاً به صورت ${\displaystyle i}$ (گاهی اوقات j) نمایش می‌یابد. از علامت زیر برای نمایش ریشه دوم عدد منفی ${\displaystyle -x}$ استفاده می‌کنیم:

زیرا:

در این صورت آرگومان ${\displaystyle i}$ می‌تواند هم منفی و هم مثبت باشد. یکی از اشکالات استفاده از اعداد مرکب این نیست که اعداد منفی و مثبت معنی خود را از دست می‌دهند. این هم مشکلی جدید ایجاد می‌کند: ما نمی‌توانیم ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$ را به عنوان ریشه دوم مثبت ${\displaystyle z}$ تعریف کنیم.

برای هر عدد غیر صفر ${\displaystyle z}$ همواره دو عدد ${\displaystyle w}$ وجود دارد که در عبارت w² = z صدق کند. تعریف معمول √z به این صورت است: اگر ${\displaystyle z=r^{i\phi }}$ در مختصات قطبی با ${\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi }$ صدق کند، آن گاه داریم ${\displaystyle {\sqrt {z}}=r^{i\phi \over 2}}$. همان‌طور که گفته شد، تابع ریشه دوم در همه جب هولومورفیک است به غیر از اعداد حقیقی غیرمثبت (که در این نقاط [پیوسته] هم نیست). سری تیلور ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ برای اعداد مرکب ${\displaystyle x}$ به طوری که |x| <۱ باشد، وجود دارد.

به گاه عددی به مستطیل شکل باشد، می‌توان از فرمول زیر استفاده نمود:

به یاد داشته باشید که چون تابع ریشه دوم در نقاط مرکب گسسته‌است، ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}\times {\sqrt {w}}}$ نمی‌تواند همواره صحیح باشد؛ زیرا چندین «مثال نقض» برای آن وجود دارد، مثلاً عبارت زیر نشان می‌دهد که -۱ = ۱:

سومین مساوی را نمی‌توان اثبات کرد.

اگر چه آن قضیه تنها در -۱ نادرست است (در اعداد بزرگ‌تر از آن صحیح است)، √(zw) = ±√(z)√(w) برای ± یعنی + یا - صحیح است. به یاد داشته باشید که √(c^۲) = ±c، و در نتیجه √(a^۲b^۲) = ±ab و √(zw) = ±√(z)√(w) که در آن a = √(z) و b = √(w) است.

مقاله اصلی: ریشه دوم یک ماتریس

اگر ${\displaystyle A}$ یک ماتریس مثبت تعریف‌شده یا یک عملگر باشد، در این صورت ماتریس مثبت تعریف‌شده یا عملگر ${\displaystyle B}$ وجود دارد که در B^۲ = A صدق کند، و تعریف می‌کنیم √A = B.

به طوری کلی، برای هر ماتریس معمولی یا عملگر ${\displaystyle A}$، عملگر ${\displaystyle B}$ وجود دارد که در B^۲ = A صدق کند.

در وضعیت‌هایی که بخواهیم تعداد بی شمار ریشه دوم یک عدد را به دست آوریم، مانند:

جواب یک عدد گویاست. عدد گویا را می‌توان با قرار دادن ${\displaystyle x}$ در زیر رادیکال به دست آورد به صورت:

اگر این سئوال را حل می‌کنیم، به جواب x = ۲ می‌رسیم. از این تقریب می‌توانیم در هر جایی که n> ۰ استفاده کنیم:

همین رویه را می‌توان به صورت زیر داشت:

این روش برای تمام مقادیر ${\displaystyle n}$، یک مقدار ${\displaystyle x}$ گویا می‌دهد، مانند:

ریشه دوم می‌تواند به صورت منحنی ساخته شود. اقلیدس روشی را برای بدست آوردن میانگین هندسی دو عدد مختلف ساخته‌است: Proposition II.۱۴ و Proposition VI.۱۳. میانگین هندسی دو عدد ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ برابر است با ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ و در صورتی که ${\displaystyle b=1}$ باشد می‌توان از ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ استفاده کرد.

چنین روشی را رنه دکارت هم گفته بود، که می‌توانید آن را در تمرین دوم صفحه دوم ببینید. اگر چه دکارت هیچ ادعایی برای اینکه مطلبی جدید را آورده نداشت و همه افراد آن را از آن اقلیدس می‌دانستند.

1. هر عدد مثبت بجز ۱، دو ریشه دوم دارد که یکی، قرینه دیگری است.
2. در جذرگیری، تنها عدد مثبت در نظر گرفته می‌شود. جذر با علامت (${\displaystyle {\sqrt {}}}$) نشان داده می‌شود.
3. اعداد منفی، جذر ندارند؛ چون مجذور هیچ عددی منفی نمی‌شود.
4. جذر اعداد ۰ و ۱، برابر با خود آن اعداد هستند.

برای بدست آوردن جذر تقریبی اعداد ابتدا باید ببینیم که آن عدد بین کدام یک از مجذورهای کامل قبل و بعد وجود دارد؛ فرضاً جذر تقریبی عدد ۵۶ را می‌خواهیم حساب کنیم.

عدد ۵۶ بین دو عدد ۴۹ و ۶۴ که مجذور کامل هستند قرار دارند. پس:

${\displaystyle 49<56<64}$

${\displaystyle {\sqrt {49}}<{\sqrt {56}}<{\sqrt {64}}}$

${\displaystyle 7<{\sqrt {56}}<8}$

در هند باستان، استفاده از ریشه دوم به سولبا سوتراس برمی گردد، که حدود ۵۰۰–۸۰۰ سال قبل از میلاد بوده‌است. اولین روش برای یافتن ریشه دوم عدد ۲ و ۳ توسط بودایانا سولبا سوترا ارائه شده بود. آریاباتا در آریاباتیا (قسمت ۲٫۴) هم روشی برای به دست آوردن ریشه دوم اعداد چندرقمی داده بود.

د.ا. اسمیت در کتاب تاریخ ریاضی گفته‌است، «در اروپا چنین روش‌هایی (برای پیدا کردن ریشه دوم و مربع یک عدد) قبل از کاتنو (۱۵۴۶) استفاده نمی‌شده‌است. او روش‌هایی را برای به دست آوردن ریشه دوم، با استفاده از روش آریاباتا ارائه کرده بود.»