تئوری کارانن-لوف

• X_t یک فرایند تصادفی با میانگین صفر و انتگرال پذیر برای مربع آن در فضای احتمال (Ω, F, P) تعریف می‌شود و نمایه آن در بازهٔ بستهٔ [a, b] با تابع کوواریانس K_X(s, t). به این ترتیب:

${\displaystyle \forall t\in [a,b]\qquad X_{t}\in L^{2}(\Omega ,F,\mathbf {P} ),}$

${\displaystyle \forall t\in [a,b]\qquad \mathbf {E} [X_{t}]=0,}$

${\displaystyle \forall t,s\in [a,b]\qquad K_{X}(s,t)=\mathbf {E} [X_{s}X_{t}].}$

• یک عملگر خطی T_KX را در K_X اعمال می‌کنیم. T_KX به این صورت تعریف می‌شود:

${\displaystyle T_{K_{X}}:L^{2}([a,b])\to L^{2}([a,b]):f\mapsto T_{K_{X}}f=\int _{a}^{b}K_{X}(s,\cdot )f(s)ds}$

از آنجایی که T_KX یک عملگر خطی است، پس می‌توان دربارهٔ مقدار ویژهٔ آن λ_k و تابع ویژهٔ آن e_k صحبت کرد، که در حل معادله‌های انتگرالی مانند زیر استفاده می‌شوند:

${\displaystyle \int _{a}^{b}K_{X}(s,t)e_{k}(s)\,ds=\lambda _{k}e_{k}(t)}$

قضیه. X_t را یک فرایند تصادفی با میانگین صفر و انتگرال پذیر برای مربع آن در فضای احتمال (Ω, F, P) و نمایه آن در بازهٔ بستهٔ [a, b] با تابع کوواریانس پیوستهٔ K_X(s, t) در نظر می‌گیریم.

حال K_X(s, t) یک هسته ی Mercer است و e_k را یک پایهٔ متعامد بر روی L²([a, b]) می‌گیریم که از توابع ویژهٔ T_KX دارای مقدار ویژهٔ λ_k تشکیل شده‌است. می‌توان X_t را به صورت زیر بیان کرد

${\displaystyle X_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}e_{k}(t)}$

که هم گرایی آن در L² است و

${\displaystyle Z_{k}=\int _{a}^{b}X_{t}e_{k}(t)\,dt}$

همچنین متغیرهای تصادفی Z_k دارای میانگین صفر، ناهمبسته نسبت به یکدیگر و دارای واریانس λ_k هستند

${\displaystyle \mathbf {E} [Z_{k}]=0,~\forall k\in \mathbb {N} \qquad {\mbox{and}}\qquad \mathbf {E} [Z_{i}Z_{j}]=\delta _{ij}\lambda _{j},~\forall i,j\in \mathbb {N} }$

• تابع کوواریانس K_X شرایط تعریف هسته‌ی Mercer را دارد. طبق تئوری Mercer، یک مجموعهٔ {λ_k, e_k(t)} وجود دارد که از مقدار ویژه‌ها و توابع ویژهٔ T_KX، یک مجموعه متعامد از L²([a,b]) تشکیل می‌دهند و K_X را نیز می‌توان به صورت زیر نمایش داد:

${\displaystyle K_{X}(s,t)=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}e_{k}(s)e_{k}(t)}$

• فرایند X_t می‌تواند به صورت تابعی از e_kها به صورت زیر بسط پیدا کند:

${\displaystyle X_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}e_{k}(t)}$

که در آن ضرایب (متغیرهای تصادفی) Z_k به صورت زیر به دست می‌آیند:

${\displaystyle Z_{k}=\int _{a}^{b}X_{t}e_{k}(t)\,dt}$

• حال خواهیم داشت:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} [Z_{k}]&=\mathbf {E} \left[\int _{a}^{b}X_{t}e_{k}(t)\,dt\right]=\int _{a}^{b}\mathbf {E} [X_{t}]e_{k}(t)dt=0\\[8pt]\mathbf {E} [Z_{i}Z_{j}]&=\mathbf {E} \left[\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}X_{t}X_{s}e_{j}(t)e_{i}(s)dt\,ds\right]\\&=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}\mathbf {E} \left[X_{t}X_{s}\right]e_{j}(t)e_{i}(s)dt\,ds\\&=\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}K_{X}(s,t)e_{j}(t)e_{i}(s)dt\,ds\\&=\int _{a}^{b}e_{i}(s)\left(\int _{a}^{b}K_{X}(s,t)e_{j}(t)dt\right)ds\\&=\lambda _{j}\int _{a}^{b}e_{i}(s)e_{j}(s)ds\\&=\delta _{ij}\lambda _{j}\end{aligned}}}$

که در آن از این نکته استفاده شده است که e_kها توابع ویژهٔ T_KX بوده و متعامد هستند.

• حال نشان می‌دهیم که همگرایی در L² است. فرض می‌کنیم

${\displaystyle S_{N}=\sum _{k=1}^{N}Z_{k}e_{k}(t).}$

آنگاه:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left[\left|X_{t}-S_{N}\right|^{2}\right]&=\mathbf {E} \left[X_{t}^{2}\right]+\mathbf {E} \left[S_{N}^{2}\right]-2\mathbf {E} \left[X_{t}S_{N}\right]\\&=K_{X}(t,t)+\mathbf {E} \left[\sum _{k=1}^{N}\sum _{l=1}^{N}Z_{k}Z_{l}e_{k}(t)e_{l}(t)\right]-2\mathbf {E} \left[X_{t}\sum _{k=1}^{N}Z_{k}e_{k}(t)\right]\\&=K_{X}(t,t)+\sum _{k=1}^{N}\lambda _{k}e_{k}(t)^{2}-2\mathbf {E} \left[\sum _{k=1}^{N}\int _{a}^{b}X_{t}X_{s}e_{k}(s)e_{k}(t)ds\right]\\&=K_{X}(t,t)-\sum _{k=1}^{N}\lambda _{k}e_{k}(t)^{2}\end{aligned}}}$

که طبق قضیهٔ Mercer به صفر میل می‌کند.