قانون کسینوس‌ها

در مثلثات قانون کسینوس که به نام قانون کاشانی هم شناخته می‌شود. قانون کسینوس ها برای بدست آوردن طول یک ضلع مثلث کاربرد دارد و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:

تصویر یک مثلث

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,

b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ),\,

\cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ .\,

اثبات

اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه باز

اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه تند

چند روش برای اثبات قانون کسینوس‌ها وجود دارد که در اینجا اثبات بر اساس قضیه فیثاغورس را می‌بینیم.

حالت زاویه باز:

در اینجا اندازه ارتفاع وارد بر ضلع b را با h و فاصله پایه ارتفاع مذکور تا راس C را با d نشان داده‌ایم.

c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2}

c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}

c^{2}=b^{2}+2bd+a^{2},d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos(\gamma )

c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}

حالت زاویه تند:

c^{2}=(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}

c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}\sin ^{2}(\gamma ),cos^{2}(\gamma )+sin^{2}(\gamma )=1

c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Law of cosines». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ می ۲۰۱۱.

جستارهای وابسته

پیوند به بیرون

در ویکی‌کتاب کتابی با عنوان: توابع مثلثاتی/قانون کسینوس‌ها وجود دارد.

An Excellent Tutorial on the Law of Cosines From PlainMath.Net
Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.