زاویه محاطی

اگر O مرکز دایره باشد، دو نقطهٔ بر روی محیط دایره انتخاب کنید و آن‌ها را به ترتیب V و A بنامید. V را به O وصل کنید و آن را ادامه دهید تا با پیرامون دایره در نقطهٔ B برخورد کند. چون این خط از مرکز دایره گذشته‌است پس قطر دایره‌است در نتیجه V در یک سوی قطر و B در سوی دیگر آن جای گرفته‌است. حال زاویه‌ای بکشید که راس آن در نقطهٔ V باشد و دو لبهٔ آن از A و B بگذرد.

نقطهٔ A را به O وصل کنید. زاویهٔ BOA یک زاویهٔ مرکزی است. آن را θ بنامید. دو پاره خط OA و OV با هم برابرند چون هر دو شعاع دایره‌اند. پس مثلث VOA متساوی‌الساقین است. در نتیجه دو زاویهٔ BVA (زاویهٔ محاطی) و VAO با هم برابرند. هر دوی این زاویه‌ها را ψ می‌نامیم.

زاویه‌های BOA و AOV با هم مکمل اند و مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه می‌شود. چون خط VB از O می‌گذرد و یک خط راست است پس اندازهٔ زاویهٔ AOV از رابطهٔ ۱۸۰° − θ بدست می‌آید.

از سوی دیگر می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه‌است. سه زاویهٔ داخلی مثلث VOA عبارتند از: ۱۸۰° − θ و ψ ،ψ. بنابراین:

${\displaystyle 2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.}$

۱۸۰° را از دو سوی تساوی کم می کنیم.

${\displaystyle 2\psi =\theta ,\,}$

که در آن θ زاویهٔ مرکزی کمان AB است و ψ زاویهٔ محاطی همان کمان است که اندازه‌ای برابر با نصف آن دارد.

دایره‌ای با مرکز O را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ V, C و D را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط VC و VD را بکشید. زاویهٔ DVC یک زاویهٔ محاطی است. حال خط VO را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ E برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی DVC، کمان DC نام دارد.

کمان DC نقطهٔ E را در بر می‌گیرد و می‌دانیم که این نقطه بر روی قطری از دایره قرار دارد. از سوی دیگر زاویه‌های DVE و EVC هر دو زاویهٔ محاطی‌اند. در بخش پیشین بدست آوردیم که اگر یک ضلع زاویهٔ محاطی از مرکز دایره بگذرد اندازهٔ آن برابر نصف کمان روبروی آن است. حال از داده‌های بخش پیشین بهره می‌گیریم:

${\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.\,}$

پس داریم:

${\displaystyle \psi _{0}=\angle DVC,}$

${\displaystyle \psi _{1}=\angle DVE,}$

${\displaystyle \psi _{2}=\angle EVC,}$

نتیجه می‌گیریم:

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\qquad \qquad (1)}$

حال خط‌های OC و OD را می‌کشیم. زاویهٔ DOC یک زاویهٔ مرکزی است. همچنین زاویه‌های DOE و EOC هم زاویه‌های مرکزی‌اند؛ و می‌دانیم:

${\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}$

اگر فرض کنیم:

${\displaystyle \theta _{0}=\angle DOC,}$

${\displaystyle \theta _{1}=\angle DOE,}$

${\displaystyle \theta _{2}=\angle EOC,}$

آنگاه:

${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\qquad \qquad (2)}$

پیشتر از بخش یک می‌دانیم که ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ و ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$ با توجه به تمامی این داده‌ها و معادلهٔ (۲) بدست می‌آوریم که:

${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}\,}$

با توجه به رابطهٔ (۱) خواهیم داشت:

${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.\,}$

دایره‌ای با مرکز O را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ V, C و D را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط VC و VD را بکشید. زاویهٔ DVC یک زاویهٔ محاطی است. حال خط VO را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ E برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی DVC، کمان DC نام دارد.

می‌دانیم که نقطهٔ E که بر روی قطری از دایره جای دارد. همچنین می‌دانیم که زاویه‌های DVE و EVC هم زاویه‌هایی محاطی‌اند. در بخش‌های پیشین نشان دادیم که اندازهٔ زاویهٔ محاطی که ضلعش از روی مرکز دایره بگذرد برابر نصف کمان روبرویش است. پس خواهیم داشت:

${\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle DVE}$.

اگر فرض کنیم:

${\displaystyle \psi _{0}=\angle DVC,}$

${\displaystyle \psi _{1}=\angle DVE,}$

${\displaystyle \psi _{2}=\angle EVC,}$

آنگاه

${\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}\qquad \qquad (3)}$

خط‌های OC و OD را بکشید. زاویهٔ DOC یک زاویهٔ مرکزی است همچنین می‌دانیم که زاویه‌های DOE و EOC هم زاویه‌هایی مرکزی‌اند. با توجه به آنکه

${\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle DOE.}$

اگر فرض کنیم

${\displaystyle \theta _{0}=\angle DOC,}$

${\displaystyle \theta _{1}=\angle DOE,}$

${\displaystyle \theta _{2}=\angle EOC,}$

آنگاه خواهیم داشت:

${\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}\qquad \qquad (4)}$

با توجه به نکته‌هایی که در بخش یک گفته شد می‌دانیم که ${\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}}$ و ${\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}$ است. با توجه به این تساوی‌ها و رابطهٔ (۴):

${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}$

پس، از رابطهٔ (۳) خواهیم داشت:

${\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}$