استدلال قطری کانتور

کانتور، در مقاله‌ی خود در سال ۱۸۹۱، مجموعه T‌ را مطالعه کرد که شامل همه دنباله‌های رقم‌های دودویی (یعنی هر رقم صفر یا یک) باشد. او با اثباتی ساختی از قضیه زیر شروع می‌کند:

اگر s1, s2, … , sn شامل تمامی شمارش‌های ممکن از T باشد، آنگاه همواره عضوی از T وجود خواهد داشت که در بین s1,S2,... نخواهد بود.

برای اثبات این، محموعه‌هایی از T را به شکل زیر انتخاب می‌نماییم:

s1 =	(۰,	۰,	۰,	۰,	۰,	۰,	۰,	...)
s2 =	(۱,	۱,	۱,	۱,	۱,	۱,	۱,	...)
s3 =	(۰,	۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	۰,	...)
s4 =	(۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	...)
s5 =	(۱,	۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	۱,	...)
s6 =	(۰,	۰,	۱,	۱,	۰,	۱,	۱,	...)
s7 =	(۱,	۰,	۰,	۰,	۱,	۰,	۰,	...)
...

او ساختار توالی s را با انتخاب مکمل اولین رقم در s1 انتخاب نمود (جایگزینی صفر به جای یک و برعکس)، برای انتخاب دومین رقم S به سراع رقم دوم در s2 رفت و مکمل آن را انتخاب نمد و به همین ترتیب ادامه داد. در مثال فوق به نتایج زیر می‌رسیم:

s1	=	(۰,	۰,	۰,	۰,	۰,	۰,	۰,	...)
s2	=	(۱,	۱,	۱,	۱,	۱,	۱,	۱,	...)
s3	=	(۰,	۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	۰,	...)
s4	=	(۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	...)
s5	=	(۱,	۱,	۰,	۱,	۰,	۱,	۱,	...)
s6	=	(۰,	۰,	۱,	۱,	۰,	۱,	۱,	...)
s7	=	(۱,	۰,	۰,	۰,	۱,	۰,	۰,	...)
...
s	=	(۱,	۰,	۱,	۱,	۱,	۰,	۱,	...)

با ساخت s به روش فوق به مجموعه‌ای می‌رسیم که با تمامی مجمه‌های بالا متفاوت است زیرا عنصر n ام آن با عنصر n ام تمام مجموعه‌های بالا تفاوت دارد.

بر اساس این قضیه کانتور با استفاده از یک اثبات با تناقض نشان می‌دهد که:

مجموعه T غیرقابل شمارش است.

او برای اثبات تناقض در ابتدا فرض می‌کند T شمارا است. پس همه عناصر آن به شکل s1,s2,...sn قابل نمایش هستند. با اعمال قضیه قبلی به این شمارشها به توالی s می‌رسیم که در شمارش‌ها موجود نیست. اما s عنصری از T بود و بنابراین باید در شمارش‌ها باشد. این تضاد فرض اصلی را زیر سؤال می‌برد بنابراین T غیرقابل شمارش است.