فهرست سری‌های ریاضی

در این صفحه فهرست سری‌های ریاضی برای سری‌های هم‌گرا و واگرا را می‌یابید.

حاصل‌جمع سری‌های توانی

$\sum _{m=1}^{n}m={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{n}m^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{n}m^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left(\sum _{m=1}^{n}m\right)^{2}\,\!$
$\sum _{m=1}^{n}m^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\,\!$
$\sum _{m=0}^{n}m^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!$

که $B_{k}\,$ عدد برنولی $k\,$ -اُم، و $B_{1}\,$ عددی منفی است.

$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$
$\sum _{m=1}^{\infty }m^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!$

که $\zeta (s)\,$ تابع زتای ریمان است.

سری‌های توانی

برای حالت‌های نامتناهی: $|x|<1$

\sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\,\!

$\sum _{m=0}^{n}x^{m}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)$ که $r>0$ و $x={\frac {1}{1+r}}.\,\!$

$\sum _{m=0}^{\infty }x^{2m}={\frac {1}{1-x^{2}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }mx^{m}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{n}mx^{m}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }m^{2}x^{m}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{n}m^{2}x^{m}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }m^{3}x^{m}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }m^{4}x^{m}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }m^{k}x^{m}=\operatorname {Li} _{-k}(x),\,\!$

که $Li_{s}(x)$ پلی‌لگاریتم x است.

سری‌های سادهٔ کسری

$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m}}=\ln \left({\frac {1}{1-x}}\right)$ برای $|x|<1\!$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{2m+1}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan(x)\,\!$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m+1}}{2m+1}}=\mathrm {arctanh} (x)$ برای $|x|<1\,\!$

سری‌های کسری فاکتوریلی

بسیاری از سری‌های توانی که از بسط تیلور به دست می‌آیند، ضریب‌های فاکتوریلی دارند.

$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}=e^{x}$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!}}x^{m}={\frac {1}{e^{x}}}$
$\sum _{m=0}^{\infty }m{\frac {x^{m}}{m!}}=xe^{x}$ (توزیع پواسون)
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{2}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+x^{2})e^{x}$ (مشتق دوم توزیع پواسون)
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{3}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}$
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{4}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}$
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{n}{\frac {x^{m}}{m!}}=x{\frac {d}{dx}}\sum _{m=0}^{\infty }m^{n-1}{\frac {x^{m}}{m!}}$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m+1)!}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m)!}}x^{2m}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m+1}}{(2m+1)!}}=\sinh x$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m}}{(2m)!}}=\cosh x$

$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(4m)!}{16^{m}{\sqrt {2}}(2m)!(2m+1)!}}x^{m}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-x}}}{x}}}$ [1]
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {4^{m}(m)!^{2}}{(m+1)(2m+1)!}}x^{2m}=\left({\frac {\arcsin {x}}{x}}\right)^{2}$ [1]
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\prod _{n=0}^{m-1}(4n^{2}+1)}{(2m)!}}x^{2m}+\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {4^{m}\prod _{n=1}^{m}({\frac {1}{2}}-n+n^{2})}{(2m+1)!}}x^{2m+1}=e^{\arcsin {x}}$ [1]

سری‌های دوجمله‌ای

سری‌های هندسی:

$(1+x)^{-1}={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }(-x)^{m}&|x|<1\\\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }-(x)^{-m}&|x|>1\\\end{cases}}$

بسط دوجمله‌ای:

$(a+x)^{n}={\begin{cases}\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n}{m}}a^{n-m}x^{m}&|x|\!<\!|a|\\\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n}{m}}a^{m}x^{n-m}&|x|\!>\!|a|\\\end{cases}}$

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{m=0}^{\infty }{\alpha \choose m}x^{m}$

برای تمام $|x|<1$ و تمام $\alpha \!$ های مختلط

عمومی‌شدهٔ ضریب‌های دوجمله‌ای

${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!$

ریشهٔ دوم:

${\sqrt {1+x}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}(2m)!}{(1-2m)m!^{2}4^{m}}}x^{m}$ برای $|x|<1\!$

گوناگون:

[2] $\sum _{m=0}^{\infty }{m+n \choose m}x^{m}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}$
[2] $\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m+1}}{2m \choose m}x^{m}={\frac {1}{2x}}(1-{\sqrt {1-4x}})$
[2] $\sum _{m=0}^{\infty }{2m \choose m}x^{m}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}$
[2] $\sum _{m=0}^{\infty }{2m+n \choose m}x^{m}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}$

عددهای برنولی

$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}}{m!}}x^{m}={\frac {x}{e^{x}-1}}$ [1]
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-4)^{m}B_{2m}}{(2m)!}}x^{2m}=x\cot {x}$ [1]
$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}2^{2m}(2^{2m}-1)B_{2m}}{(2m)!}}x^{2m-1}=\tan {x}$ [1]
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}(4^{m}-2)B_{2m}}{(2m)!}}x^{2m}={\frac {x}{\sin {x}}}$ [1]

عددهای هارمونیک

$\sum _{m=1}^{\infty }H_{m}x^{m}={\frac {\log {\frac {1}{1-x}}}{1-x}}$
$\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {H_{2m-1}}{m}}x^{m}={\frac {1}{2}}\left(\log {\frac {1}{1-x}}\right)^{2}$ [1]
$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}H_{2m}}{2m+1}}x^{2m+1}={\frac {1}{2}}\arctan {x}\log {(1+x^{2})}$ [1]
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\sum _{n=0}^{2m}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}{4m+2}}x^{4m+2}={\frac {1}{4}}\arctan {x}\log {\frac {1+x}{1-x}}$ [1]

ضریب‌های دوجمله‌ای

$\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}=2^{n}$
$\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}a^{(n-m)}b^{m}=(a+b)^{n}$
$\sum _{m=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose m}=0$
$\sum _{m=0}^{n}{m \choose k}={n+1 \choose k+1}$
$\sum _{m=0}^{n}{k+m \choose m}={k+n+1 \choose n}$
$\sum _{m=0}^{r}{r \choose m}{s \choose n-m}={r+s \choose n}$

تابع‌های مثلثاتی

برخی از سینوس‌ها و کسینوس‌ها از سری فوریه به دست می‌آیند.

$\sum _{m=1}^{n}\sin \left({\frac {m\pi }{n}}\right)=0$
$\sum _{m=1}^{n}\cos \left({\frac {m\pi }{n}}\right)=0$

دسته‌بندی نشده

$\sum _{m=b+1}^{\infty }{\frac {b}{m^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2b}$
$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {y}{m^{2}+y^{2}}}=-{\frac {1}{2y}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi y)$

جستارهای وابسته

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of mathematical series». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ فوریهٔ ۲۰۱۱.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.