زیرگروه نرمال

در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال (به انگلیسی: Normal Subgroup) (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می گویند)[1] زیرگروهی است که تحت مزدوج گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه از گروهی چون در نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام و نتیجه شود . نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال است.

زیرگروه‌های نرمال مهم اند، چرا که آن ها (و فقط آن ها) را می توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتی گروه داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه ‎های نرمال دقیقاً هسته های همریختی های گروهی با دامنه اند، لذا می توان از این زیر گروه ها به طور ذاتی برای طبقه بندی چنین همریختی هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه های نرمال شد.[2]

تعاریف

یک زیرگروه از را زیرگروه نرمال از گویند اگر تحت مزدوج گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از تحت عنصر دلخواهی از همیشه در قرار بگیرد.[3] نمادگذاری این رابطه است.

شرایط معادل

برای هر زیرگروه از ، شرایط زیر معادل اند با این که زیر گروه نرمالی از باشد. بنابر این هر کدام از آن ها را می توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

  • تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) تحت هر عنصر زیر مجموعه ای از باشد.[4]
  • تصویر تزویجی تحت هر عنصر برابر باشد.[4]
  • برای تمام ، همدسته های چپ و راست و برابر باشند.[4]
  • همدسته های چپ و راست در با هم یکی شوند.[4]
  • ضرب یک عنصر از همدسته چپ نسبت به و یک عنصر از همدسته چپ نسبت به ، عنصری از همدسته چپ نسبت به باشد: یعنی اگر از و نتیجه شود که .
  • برابر اجتماع رده های تزویجی باشد.[2]
  • تحت درون ریختی های داخلی از حفظ شود.[5]
  • همریختی گروهی چون وجود دارد چنان که هسته آن باشد.[2]
  • برای تمام و ، جابجاگر در باشد.
  • هر دو عنصر گروه در رابطه زیر صدق کنند:

پانویس

منابع

  • Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH.
  • Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
  • Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
  • Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (7th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
  • Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
  • Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
  • Judson, Thomas W. (2020). Abstract Algebra: Theory and Applications.
  • Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. 80 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
  • Thurston, William (1997). Levy, Silvio, ed. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
  • Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

پیوند به بیرون

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.