گروه حل‌پذیر

به‌طور تاریخی، کلمه «حل‌پذیر» از نظریه گالوا و اثبات حل ناپذیری معادلات چندجمله‌ای درجه پنج در حالت کلی سر برمی‌آورد. بخصوص، یک معادله چندجمله‌ای برحسب رادیکال‌ها حل‌پذیر است اگر و تنها اگر گروه گالوای متناظر با آن نیز حل‌پذیر باشد (توجه کنید که این قضیه تنها زمانی که میدان دارای مشخصه ۰ باشد برقرار است). یعنی با هر چندجمله‌ای ${\displaystyle f\in F[x]}$، برجی از توسیعات میدانی به صورت زیر متناظر است:

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{m}=K}$

چنان‌که:

1. ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}$، که در آن ${\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}$، چنان‌که ${\displaystyle \alpha _{i}}$ جوابی به معادله ${\displaystyle x^{m_{i}}-a}$ است که در آن ${\displaystyle a\in F_{i-1}}$ است.
2. ${\displaystyle F_{m}}$ شامل میدان شکافنده ای برای ${\displaystyle f(x)}$ است.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Solvable Group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱ مهٔ ۲۰۲۱.