رقابت کورنو

صنعتی متشکل از تعدادی متناهی بنگاه اقتصادی در نظر بگیرید که هر کدام مقدار محصول تولیدی خود را برمی‌گزینند. محصولات تولیدی این بنگاه‌ها همگی جانشین کامل هم هستند (محصولات همگن). تقاضا در این بازار تابعی از مجموع کل محصولات تولیدی است. همچنین تمامی بنگاه‌ها از همه عناصر مدل اطلاع کامل دارند. تعادل ناشی از این رقابت به نحوی است که هیچ‌یک از بنگاه‌ها تمایلی به تغییر میزان تولید محصول خود که حاصل از این رقابت است را (به صورت یک‌جانبه) ندارند. (به صورت ضمنی می‌توان نتیجه حاصل از این رقابت را یک تعادل نش از یک بازی عادی با منفعت‌های برابر با سود بنگاه‌ها دانست) حال اگر مدل را برای حالتی که تنها دو بنگاهِ اقتصادی تولیدکنندهٔ رقیبِ در صنعت در نظر بگیرید، با توجه به اینکه سود هر بنگاه برابر تفاوت درآمد و هزینه است، خواهیم داشت: ${\displaystyle \Pi _{i}=P(q_{1}+q_{2})\cdot q_{i}-C_{i}(q_{i})}$
که در این رابطه، ${\displaystyle q_{1}}$ و ${\displaystyle q_{2}}$ به ترتیب بیانگر مقدار محصول تولیدی بنگاه ۱ و ۲ می‌باشد. همچنین ${\displaystyle P}$ قیمت تعادلی که از میزان تقاضای محصول تولیدی به دست می‌آید و ${\displaystyle C_{i}}$ تابع هزینه هر بنگاه به ازای تولید آن است. هر بنگاه به نوبهٔ خود قصد بیشینه کردن میزان سود را دارد. با توجه به ساختار نوشته شده برای سود، می‌توان به صورت زیر عمل کرد:

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{i}}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1}+q_{2})}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}+P(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}}$

همان‌طور که مشاهده می‌شود، هر بنگاه از بیشینه کردن سود خود بر اساس میزان تولید خود و رقیبش، به یک تابعی از میزان تولید خود بر حسب میزان تولید رقیبش می‌رسد که به آن تابع بهترین پاسخ (به انگلیسی: Best Response Function) می‌گویند. در واقع بیان می‌کند که به ازای هر تولیدی که رقیب انجام دهد، چه میزان باید خود تولید کند تا سودش بیشینه گردد. حال اگر به عنوان مثال فرض کنیم که تقاضای محصول در بازار به صورت ${\displaystyle P(q_{1}+q_{2})=a-(q_{1}+q_{2})}$ باشد، پس تعادل حاصل از رقابت کورنو به دست می‌آید:

${\displaystyle \Pi _{i}={\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}\cdot q_{i}-C_{i}(q_{i})}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{i}}}\cdot q_{i}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{i}(q_{i})}{\partial q_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bigg (}a-(q_{1}+q_{2}){\bigg )}}{\partial q_{1}}}\cdot q_{1}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \ -q_{1}+a-(q_{1}+q_{2})-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{1}={\frac {a-q_{2}-{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{2}={\frac {a-q_{1}-{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{2}}}$

که با جایگذاری این مقادیر به ازای هم می‌توان نوشت:

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{1}^{*}={\frac {a+{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}-2*{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}}{3}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \ q_{2}^{*}={\frac {a+{\frac {\partial C_{1}(q_{1})}{\partial q_{1}}}-2*{\frac {\partial C_{2}(q_{2})}{\partial q_{2}}}}{3}}}$

بدین ترتیب مقادیر محصول تولیدی هر بنگاه در رقابت کورنو به دست می‌آید.

دو نوع عدم کارایی در تعادل حاصل از رقابت کورنو ممکن است اتفاق بیفتد: اول اینکه قیمت تعادلی بیشتر از هزینه حاشیه‌ای تولید باشد، و دیگر اینکه مجموع تولیدات به صورت غیرکارا در بین بنگاه‌ها توزیع شود. با مقایسه بین شرط مرتبه اول در حالت دو بنگاه و زمانی که برنامه‌ریز مرکزی با انتخاب تولید بنگاه اول و دوم قصد بیشینه کردن رفاه اجتماعی را داشته باشد، می‌توان به این نتیجه رسید که اگر در نقطه تعادل تقاضا دارای شیب منفی باشد، تولید حاصل از رقابت کورنو کمتر از انتخاب برنامه‌ریز مرکزی خواهد بود. اگرچه، در حالت وجود برنامه‌ریز مرکزی، هزینه حاشیه‌ای تمامی بنگاه‌ها با هم برابر است، که این حالت فقط در زمانی که سیستم متقارن باشد برقرار است. پس در حالت کلی عدم کارایی در توزیع تولید در بین بنگاه‌ها داریم. از عدم کارایی در توزیع تولیدات این‌طور استنباط می‌شود که رفتار استراتژیک می‌تواند اثری خلاف انگیزشی داشته باشد. می‌توان این‌چنین بیان کرد که اثر استراتژیک رفتار متقابل بنگاه‌ها در بازار باعث ایجاد حرکت معکوس در جهت رفاه باشد. بدین معنا که بنگاه‌ها را از انجام تغییرات فناورانه برای کسب سود بیشتر منصرف کند. دلیل این امر آنست که کم شدن هزینه باعث یک افزایش در سطح تولید تعادلی بنگاه پرهزینه و یک کاهش (به میزان کمتری) در سطح تولید بنگاه کم‌هزینه می‌شود. این اتفاق به خودی خود باعث کاهش در کارایی تولید کل، و در نتیجه عدم کارایی در زمینه‌های دیگر نیز می‌شود.

حال اگر تولیدات بنگاه‌ها جانشین کامل هم نباشند (محصولات تولیدی متفاوت باشند)، نمی‌توان برای بازار یک تابع تقاضای کل در نظر گرفت. پس هریک از بنگاه‌ها به فراخور محصول تولیدیشان یک تابع تقاضا خواهند داشت. بدین ترتیب هرکدام یک قیمت را برای محصول خود انتخاب کرده و استراتژی اعلام قیمت در مدل برتراند پیاده‌سازی می‌شود. سینگ و ویوز[1] نشان دادند که در یک مدل دو بنگاهی که تقاضای خطی و متقارن و هزینه حاشیه‌ای تولید ثابت دارند، هنگامی که سود تحت رقابت کارنو بیشتر از رقابت برتراند باشد، آنگاهُ total surplus در رقابت برتراند بیشتر از کارنو خواهد بود.

ادبیات مربوط به رقابت کورنو بسیار وسیع و دارای کاربردهای بسیار زیادی می‌باشد. از انواع این کاربردها در مسایل اقتصادی اجتماعی می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

• نظریه بازی‌ها
• تعادل نش
• آنتونی آگوستین کورنو
• ادغام
• مالکیت معنوی
• رفاه