نبرد جنسیت‌ها

بازی ۲ تعادل نش خالص دارد. اگر بازیکنان هر کدام به ۲ جای مختلف رفته باشند، هر کدام باعوض کردن استراتژی خود می‌توانند مطلوبیت بیشتری کسب کنند پس این حالات تعادل نش نیست. اگر هر دو به یک مکان بروند، هر کدام با تغییر استراتژی خود به مطلوبیت کمتری می‌رسد پس بازیکنان انگیزهٔ تخطی ندارند و این حالات تعادل نش است. ((O,O) و (B,B))

هم چنین تعادل ترکیبی بازی به این شکل است که هر بازیکن استراتژی مورد علاقهٔ خود را با احتمال ${\displaystyle {\frac {a}{a+b}}}$ و استراتژی دیگر را با احتمال ${\displaystyle {\frac {b}{a+b}}}$ بازی می‌کند. به این ترتیب هر بازیکن با ثابت در نظر گرفتن استراتژی بازیکن مقابل، مطلوبیت هر ۲ استراتژی اش یکسان است پس انگیزهٔ تخطی ندارند و تعادل نش است. در این تعادل میانگین سود هر بازیکن برابر ${\displaystyle {\frac {ab}{(a+b)}}}$ ست که:

${\displaystyle {\frac {ab}{(a+b)}}>b>0}$

یعنی در این حالت میانگین سود بازیکنان از حداکثر سود ممکن کمتر است اما از سودی که به استراتژی دلخواه بازیکن دیگر بازی کند بیشتر است.

این بازی را با روش بررسی رو به جلو (forward checking) می‌توان تحلیل کرد: نفر اول با بازی میکس می‌توانست به‌طور میانگین مطلوبیت ${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}}$ را بدست آورد. پس اگر در مرحلهٔ اول دلار را بسوزاند یعنی برای مطلوبیت ${\displaystyle b-1}$ یا ${\displaystyle -1}$ نیامده زیرا با نسوزاندن دلار می‌توانست به مطلوبیت بیشتری برسد. پس برای ${\displaystyle a-1}$ آمده‌است و استراتژی محبوب خود را بازی می‌کند. بهترین پاسخ به این استراتژی هم به همان مکان رفتن است. پس نفر اول با سوزاندن دلار می‌تواند به مطلوبیت ${\displaystyle a-1}$ برسد. حال با استدلال مشابه اگر نفر اول دلار را نسوزاند، به دنبال سود ${\displaystyle a}$ است. (زیرا فرض شده ${\displaystyle a>b+1}$) پس اگر دلار را نسوزاند یعنی استراتژی محبوب خود را بازی خواهد کرد و بهترین پاسخ به این استراتژی از دید نفر دوم هم رفتن به همان مکان است. پس هر دو بدون سوزاندن دلاری به مکان مورد علاقهٔ نفر اول می‌روند. توجه شود که فرض تفاوت یک واحدی ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ در واقع اضافی است و نفر اول کافی است با فعالیتی به حداقل میزان تفاوت ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ مطلوبیت خود را تهدید کند تا باز هم به هدف خود برسد. این پدیده در بسیاری از تعاملات اجتماعی و فردی هم دیده می‌شود که یک نفر با تهدید آسیب رساندن به خود، به خواسته اش می‌رسد. یک راه حل برای بازی‌های تکرار شونده، عدم منطقی بازی کردن است تا طرف مقابل استراتژی اش را عوض کند. اما ممکن است تغییر استراتژی از طرف مقابل امری زمان بر و در نتیجه هزینه بر باشد. یک راه حل دیگر عوض کردن کل بازی و مطلوبیت‌ها در صورت امکان است که این هم ممکن است زمان بر یا نشدنی باشد. راه دیگر ترک کل بازی و بازی نکردن در صورت احتمال آسیب زیاد است.[3]

می‌توان نتیجهٔ بالا را بدون تحلیل forward checking و با ستقرای عقب‌گرد (Backward induction) هم انجام داد. حرکت اول و بازی بعدی آن را به فرم نرمال هم می‌توان نوشت و در این حالت با حذف استراتژی‌های اکیداً مغلوب می‌توان به نتیجهٔ بالا یعنی نسوزاندن دلار و استراتژی محبوب نفر اول رسید.

فرض کنید که مرد با احتمال M_F به دیدن فیلم اکشن میرود در مقابل احتمال M_O که به دیدن فیلم درام میرودو خانم هم با احتمال W_F به دیدن فیلم درام می رود در مقابل احتمال W_O که به دیدن فیلم اکشن می رود. حال احتمال اینکه مرد به دیدن فیلم اکشن برود برابرست با مقداری که سودش در هر دو حالت یکی شود.

${\displaystyle M_{F}={\frac {W_{O}+3W_{F}}{W_{O}+3W_{F}+2W_{O}+0W_{F}}}={\frac {W_{O}+3W_{F}}{3W_{O}+3W_{F}}}}$

پس داریم که:

${\displaystyle M_{F}={\tfrac {1}{3}}(W_{O}+3W_{F})}$

به طور مشابه برای خانم داریم :

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{O}&={\tfrac {2}{3}}W_{O}\\W_{F}&={\tfrac {2}{3}}M_{F}\\W_{O}&={\tfrac {1}{3}}(3M_{O}+M_{F})\end{aligned}}}$

حال با جایگذاری ${\displaystyle M_{F}}$ در مثال داریم:

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{F}&={\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {1}{3}}(3M_{O}+M_{F})+3\left({\tfrac {2}{3}}M_{F}\right)\right)\\&={\tfrac {1}{3}}\left(M_{O}+{\tfrac {7}{3}}M_{F}\right)\\&={\tfrac {1}{3}}\left(1+{\tfrac {4}{3}}M_{F}\right)&&M_{O}+M_{F}=1\end{aligned}}}$

حل کردن معادله آخر برای ${\displaystyle M_{F}}$ داریم که:

${\displaystyle M_{F}={\tfrac {3}{5}}}$

چون جمع احتمال ها برابر با 1 است میتوان نتیجه گرفت که:

${\displaystyle M_{O}=1-{\tfrac {3}{5}}={\tfrac {2}{5}}}$

${\displaystyle W_{F}={\tfrac {2}{3}}M_{F}={\tfrac {2}{5}}}$

${\displaystyle W_{O}=1-{\tfrac {2}{5}}={\tfrac {3}{5}}}$

با توجه به معادلات بالا و بررسی تعادل های نش آن میتوان نتیجه گرفت که جواب عقلانی آنست که به صورت ترکیبی هر استراتژی را با احتمالی که به دست آورده ایم بازی کنند