تعادل نش

به بیان غیر رسمی، به مجموعه‌ای از استراتژی‌ها در صورتی که هیچ بازیکنی توسط راهبردی یک جانبهٔ در حال تغییر خود نمی‌تواند بهتر عمل کند تعادل نش می‌گویند. برای مشاهده در مورد این مفهوم، تصور کنید که هر بازیکن بیان کرده‌است که استراتژی‌های دیگران را می‌گیرد. فرض کنید که سپس هر بازیکن از خودش می‌پرسد: دانستن استراتژی‌های بازیکنان دیگر، و بحث کردن در رابطه با استراتژی‌های بازیکنان دیگر به عنوان زیر بنا تعیین می‌شوند، آیا با تغییر استراتژی می‌توانم بهره‌مند بشوم؟ اگر پاسخ هر بازیکن "بله " باشد، پس آن مجموعه استراتژی‌ها تعادل نش نمی‌باشد. اما اگر هر بازیکن هر تغییری را که ترجیح نمی‌دهد (یا بی‌تفاوت است بین تغییر یا نه)، پس مجموعه‌ای از استراتژی‌های تعادل نش می‌باشد. به این ترتیب، هر استراتژی در تعادل نش بهترین پاسخ به تمام استراتژی‌های دیگر در آن تعادل است. تعادل نش گاهی اوقات ممکن است غیر عقلایی در دیدگاه سوم شخص ظاهر می‌شود. دلیل این است که ممکن است که حالتی از تعادل نش که بهینه پارتو نیست رخ دهد. تعادل نش همچنین می‌تواند عواقب غیر عقلایی در بازی‌های پی در پی به خاطر بازیکنان، ممکن است تهدیدی برای یکدیگر با حرکت غیر منطقی داشته باشند. برای مثال در تئوری بازی‌ها تعادل کامل نش با بازی فرعی می‌تواند معنی دار تر به عنوان ابزار تجزیه و تحلیل باشد.

مجموعه ${\displaystyle (S,F)}$ را به عنوان بازی با ${\displaystyle n}$ بازیکن در نظر بگیرید، که در آن ${\displaystyle S_{i}}$ مجموعه استراتژی‌ها برای بازیکن ${\displaystyle i}$ است، ${\displaystyle S=S_{1}*S_{2}...*S_{n}}$ مجموعه‌ای از فضای استراتژی آن است و ${\displaystyle F(x)}$ تابع بهره‌مندی آن است${\displaystyle X_{-i}}$ را به عنوان فضای استراتژی همهٔ بازیکنان به جز بازیکن${\displaystyle i}$در نظر بگیرید. هر بازیکن به ازای هر ${\displaystyle i}$ عضو مجموعه اعداد صحیح، استراتژی ${\displaystyle X_{i}}$ را انتخاب کند، پروفایل استراتژی آن به صورت ${\displaystyle x={x_{1},...,x_{n}}}$ و تابع بهره‌مندی آن به صورت ${\displaystyle F(x_{i})}$ نتیجه داده می‌شود. قابل ذکر است که تابع بهره‌مندی به نمای استراتژی انتخابی وابسته است. به عنوان مثال، در استراتژی انتخاب شده توسط بازیکن i و همچنین استراتژی‌های انتخاب شده توسط تمام بازیکنان دیگر. نمای استراتژی ${\displaystyle x^{*}\in S}$ یک تعادل نش (NE) است اگر هیچ انحراف یک سویی در استراتژی توسط هر بازیکن واحد با یکی دیگر از بازیکنان سودآور نمی‌باشد.

یعنی

${\displaystyle \forall i,x_{i}\in S_{i},x_{i}\neq x_{i}^{*}:f_{i}(x_{i}^{*},x_{-i}^{*})\geq f_{i}(x_{i},x_{-i}^{*}).}$

یک بازی می‌تواند یا استراتژی محض یا تعادل نش ترکیبی باشد،(در تعریف اخیر استراتژیی محض آن است که به صورت تصادفی با فراوانی ثابت انتخاب شده‌است). نش نشان داد که در صورتی به ما اجازه استراتژی ترکیب شده بدهند، سپس هر بازی با تعداد محدودی از بازیکنان که در آن هر بازیکن می‌تواند به صورت غیر محدود از میان بسیاری از استراتژی‌های کامل که حداقل یک تعادل نش می‌باشد انتخاب کند. وقتی نابرابری اکید در بالا نگه می‌دارد برای تمام بازیکنان و تمام استراتژی‌های جایگزین امکان‌پذیر است، سپس تعادل طبقه‌بندی شده به عنوان یک تعادل دقیق نش می‌باشد. اگر در عوض، برای برخی از بازیکنان، برابری دقیقی بین x و بعضی از استراتژی‌های مجموعه S وجود دارد. سپس تعادل به عنوان یک تعادل طبقه‌بندی شده ضعیفی از نش می‌باشد.

مثال بازی هماهنگ نسبت بازیکن ۱ به بازیکن ۲ با هر ترکیبی را نشان می‌دهد. بازی هماهنگ(متقارن) معمول دو بازیکن یا دو استراتژی بازی است، به عنوان مثال ماتریس بهره‌وری در سمت راست نشان داده شده‌است. بازیکنان باید در نتیجه هماهنگ، هر دو استراتژی A را اتخاذ کنند. به عنوان مثال، ۴. اگر هر دو بازیکن استراتژی B را انتخاب کنند هنوز هم در تعادل نش قرار دارند. اگر چه به هر بازیکن کمتر از بهره‌وری بهینه تعلق می‌گیرد، هیچ‌یک از بازیکنان انگیزه‌ای برای تغییر استراتژی به دلیل کاهش در پرداخت فوری ندارند (از ۳ به ۱). نمونه‌ای از بازی هماهنگ تنظیم دو فناوری موجود برای دو شرکت با محصولات سازگار است، و آن‌ها حق انتخاب یک استراتژی برای تبدیل شدن به استاندارد بازار دارند. اگر هر دو شرکت موافق به فناوری انتخاب شده باشند، فروش بالا برای هر دو شرکت انتظار می‌رود. اگر شرکت‌ها در انجام این فناوری استاندارد را قبول نکنند نتیجه کمی نتیجه فروش می‌باشد. هر دو روش تعادل نش از بازی . در جاده در حال رانندگی کردن هستید، و دارای انتخاب برای رانندگی در سمت چپ یا به رانندگی در سمت راست جاده باشید همچنین این هم یک بازی هماهنگ است. برای مثال بهره‌مندی ۱۰۰ به معنی بدون تصادف و ۰ به معنی تصادف است، این بازی هماهنگ را می‌توان با ماتریس پرداخت زیر تعریف کرد:

در این حالت دو استراتژی محض تعادل نش، هنگامی که هر دو به یکی از دو حالت رانندگی در سمت چپ یا در سمت راست را انتخاب کنند وجود دارد، اگر ما اعتراف استراتژی‌های مختلط که در آن استراتژی محض تعادل نش است به تصادف انتخاب شده (موضوع برای بعضی احتمالات ثابت)، سپس سه تعادل نش برای موارد مشابه وجود دارد: ما برای هر دو استراتژی محض را به ترتیب در نظر می‌گیریم که در آن احتمالات (۰٪،۱۰۰٪) برای بازیکن نخست، (۰٪،۱۰۰٪) برای بازیکن دو،(۱۰۰٪و۰٪) برای بازیکن نخست و (۱۰۰٪و۰٪) برای بازیکن دوم. یکی دیگر از احتمالاتی که برای هر بازیکن مشخص می‌کنیم (۵۰٪و۵۰٪) است.

معمای زندانی مشابه ماتریس بهره‌وری است که به منظور نشان دادن بازی هماهنگ به کار می‌رود، اما اکنون در نظر بگیرید که<C> A> D> B. چونکه C>A و D>A، هر بازیکن موقعیت خودش را با تغییر استراتژی از از استراتژی ۱ به ۲ بهبود می‌بخشد. بدون توجه به آنکه بازیکن دیگر چه تصمیمی می‌گیرد؛ بنابراین معمای زندانی یک تعادل نش است: هر دو بازیکن استراتژی ۲ (خیانت) را انتخاب می‌کنند. این مورد جذاب مدت زیادی ساخته شده‌است برای مطالعه این حقیقت که D>A است، (به عنوان مثال، "هر دو خیانت" است در سطح جهانی پایین‌تر از "هر دو وفاداری باقی می‌ماند "). استراتژی بهینه به‌طور کلی ناپایدار است، بلکه در تعادل نیست. مثال ماتریس بهره‌وری معمای زندانی

یک راه آسان عددی برای شناسایی تعادل نش در ماتریس بهره‌مندی وجود دارد. این امر به ویژه کمک‌کننده در بازی‌های دو نفره که در آن بازیکنان بیش از دو استراتژی می‌گیرند می‌باشد. در این مورد تجزیه و تحلیل رسمی ممکن است بیش از حد طولانی شود. این قانون برای جایی که حالت مختلط است (تصادفی) استراتژی‌های مورد علاقه صدق نمی‌کند. قانون آن به شرح زیر است: اگر شماره اولین بهره‌وری، در سلول‌های دوتایی، حداکثر ستون ازهر سلول است و اگر عدد دوم حداکثر ازمیان ردیف سلول باشد، سپس آن سلول نشان دهنده تعادل نش است. ما می‌توانیم این قاعده برای یک ماتریس ۳ × ۳ به کار بگیریم

با استفاده از این قانون، ما خیلی سریع (خیلی سریع تر از تجزیه و تحلیل رسمی) می‌توانیم ببینیم که سلول‌های تعادل نش (B,A)، (A,B) و (C,C) هستند. درواقع، برای سلول (B,A) امتیاز ۴۰ درستون اول و امتیاز ۲۵ برای ردیف دوم حداکثر است. برای سلول (A,B) امتیاز ۲۵ درستون دوم و امتیاز ۴۰ برای ردیف اول حداکثر است. مشابه برای سلول (C,C). برای سلول‌های دیگر، یا یکی یا هردوی اعضای دوتایی حداکثر در سطر و ستون مربوطه نیستند.