توزیع بتا-دوجمله‌ای

توزیع بتا-دوجمله‌ای (انگلیسی: Beta-binomial distribution)

تابع جرم احتمال
تابع توزیع تجمعی
فراسنجه‌ها	n ∈ عدد طبیعی — number of trials ${\displaystyle \alpha >0}$ (عدد حقیقی) ${\displaystyle \beta >0}$ (عدد حقیقی)
تکیه‌گاه	k ∈ { 0, …, n }
تابع جرم احتمال	${\displaystyle {n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}$
تابع توزیع تجمعی	${\displaystyle 1-{\tfrac {\mathrm {B} (\beta +n-k-1,\alpha +k+1)_{3}F_{2}({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}};k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\mathrm {B} (n-k,k+2)(n+1)}}}$ where 3F2(a,b,k) is the generalized hypergeometric function =3F2(1, α + k + 1, −n + k + 1; k + 2, −β − n + k + 2; 1)
میانگین	${\displaystyle {\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\!}$
واریانس	${\displaystyle {\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$
چولگی	${\displaystyle {\tfrac {(\alpha +\beta +2n)(\beta -\alpha )}{(\alpha +\beta +2)}}{\sqrt {\tfrac {1+\alpha +\beta }{n\alpha \beta (n+\alpha +\beta )}}}\!}$
کشیدگی	See text
تابع مولد گشتاور	${\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha$ ;\alpha +\beta ;1-e^{t})\!} ${\displaystyle {\text{for }}t<\log _{e}(2)}$
تابع مشخصه	${\displaystyle _{2}F_{1}(-n,\alpha$ ;\alpha +\beta ;1-e^{it})\!} ${\displaystyle {\text{for }}|t|<\log _{e}(2)}$

شکل ۱: چگالی احتمال.

شکل ۲: توزیع تجمعی.

می‌توان تصور کرد که پارامتر ${\displaystyle p}$ در این توزیع از یک توزیع بتا بدست آمده‌است.

${\displaystyle {\begin{aligned}L(k|n,p)&=\operatorname {Bin} (n,p)\\&={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\end{aligned}}}$

که خود توزیع بتا دارای فرمول زیر است:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (p|\alpha ,\beta )&=\mathrm {Beta} (\alpha ,\beta )\\&={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\end{aligned}}}$

حال می‌توان توزیع کلی را به صورت زیر نوشت:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(k|n,\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{1}L(k|p)\pi (p|\alpha ,\beta )\,dp\\&={n \choose k}{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}p^{k+\alpha -1}(1-p)^{n-k+\beta -1}\,dp\\&={n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$

با استفاده از ویژگی‌های تابع بتا می‌توان رابطهٔ فوق را به صورت زیر ساده کرد:

${\displaystyle f(k|n,\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (n-k+1)}}{\frac {\Gamma (k+\alpha )\Gamma (n-k+\beta )}{\Gamma (n+\alpha +\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}.}$