تابع بتا

تابع بتا یک تابع متقارن است به این معنی که:[1]

${\displaystyle B(p,q)=B(q,p)}$

این تابع از طریق زیر با تابع گاما مرتبط است:[1]

${\displaystyle B(x,y)=\Gamma (x)\Gamma (y)/\Gamma (x+y)}$

وقتی ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ هر دو صحیح و مثبت باشند، طبق تعریف تابع گاما معادله پایین برقرار خواهد بود:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=n\int _{0}^{1}t^{nx-1}(1-t^{n})^{y-1}\,dt,&&\operatorname {Re} (x)>0,\ \operatorname {Re} (y)>0,\ n>0\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {n-y}{n}}{x+n}},\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\end{aligned}}}$

از دیگر خواص تابع بتا معادله پایین است:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)\\[6pt]\mathrm {B} (x+1,y)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y+1)&=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\to t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\to t_{+}^{y-1}{\Big )}&&x\geq 1,y\geq 1,\\[6pt]\mathrm {B} (x,y)&\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\\[6pt]\mathrm {B} (x,1-x)&={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}}\\[6pt]\mathrm {B} (1,x)&={\dfrac {1}{x}}\end{aligned}}}$

تابع بتا را می توان با تقریب استرلینگ برای ${\displaystyle x}$ و ${\displaystyle y}$ های بزرگ به شکل پایین نمایش داد:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$

ولی اگر فقط ${\displaystyle x}$ بزرگ بود تقریب به شکل پایین تغییر خواهد یافت:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Beta function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۱ می ۲۰۱۱.
• Davis, Philip J. (1972), "6. Gamma function and related functions", in Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0