هذلولی

معادلهٔ هذلولی به مرکز ${\displaystyle (h,k)}$ به فرم استاندارد به صورت زیر است:[10]

شکل پارامتریک معادلهٔ هذلولی به یکی از سه صورت زیر خواهد بود:

$${\displaystyle 1:{\begin{cases}x=\pm a\,{\text{cosh}}(t)+h\\y=b\,{\text{sinh}}(t)+k\end{cases}},\quad t\in \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle 2:{\begin{cases}x=\pm a\,{\frac {t^{2}+1}{2t}}+h\\y=b\,{\frac {t^{2}-1}{2t}}+k\end{cases}},\quad t\neq 0}$$

$${\displaystyle 3:{\begin{cases}x=a\,{\text{sec}}(t)+h\\y=\pm b\,{\text{tan}}(t)+k\end{cases}},\quad 0\leq t<2\pi ,\,t\neq {\frac {\pi }{2}},\,t\neq {\frac {3\pi }{2}}}$$

• معادلهٔ هذلولی با جایگزینی یک عملگر در معادلهٔ بیضی به‌دست می‌آید:[11]
• ${\displaystyle b^{2}.x^{2}-a^{2}.y^{2}-a^{2}.b^{2}=0}$ که مرکز آن ${\displaystyle O(0,0)}$ است. ورتکس‌های آن ${\displaystyle (a,0)}$ و ${\displaystyle (-a,0)}$ هستند و نقاط ${\displaystyle (0,b)}$ و ${\displaystyle (0,-b)}$ روی هذلولی قرار ندارند بلکه روی محور تقارن آن هستند.[12]
• مستطیلی که مرکز ${\displaystyle O}$ باشد و طول اضلاعش ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$، قطرهایش مجانب‌های هذلولی هستند (${\displaystyle u}$ و ${\displaystyle v}$).[13]
• هر هذلولی دو شاخه دارد که تا بینهایت به مجانب‌های آن نزدیک می‌شوند. کشیدن شاخه‌ها در رسم دقیق هذلولی‌ها اهمیت دارد.[14]

برای هر هذلولی می‌توان دو نقطه تمرکز ${\displaystyle F_{1}(e,0)}$ و ${\displaystyle F_{2}(-e,0)}$ ساخت به شکلی که ${\displaystyle e^{2}=a^{2}+b^{2}}$. می‌توان نشان داد که تفاضل فواصل هر نقطه روی هذلولی از این دو نقطه برای هر هذلولی ثابت و برابر ${\displaystyle 2a}$ است:[15]

• ${\displaystyle |dist(P_{0},F_{1})-dist(P_{0},F_{2})|=2a}$

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ هذلولی موجود است.

1. به بیشتر بودن برون‌مرکزی این منحنی از عدد ۱ اشاره دارد.
2. شاید به این دلیل که اصطلاحات بیگانه به‌سادگی در ساختار زبان عربی پذیرفته نمی‌شود.
3. در معادلهٔ آپولونیوس برای بیضی ${\displaystyle (y^{2}=px^{2}-{\frac {px}{d}})}$ مقدار ${\displaystyle {\frac {px}{d}}}$ کاسته می‌شود و «ناقص» در «قطع ناقص» به همین امر اشاره دارد. معادلهٔ آپولونیوس برای هذلولی مشابه معادلهٔ بیضی است با این تفاوت که مقدار ${\displaystyle {\frac {px}{d}}}$ به مقدار ${\displaystyle px^{2}}$ اضافه می‌شود، ازین‌رو مترجمان عربی آن، هذلولی را «قطع زائد» نامیدند. معادلهٔ آپولونیوس برای سهمی هم ${\displaystyle y^{2}=px^{2}}$ است و چون در آن بخش ناقص و زائدی نیست مترجمان عربی برای آن معادل «مُکافی» (به معنی هم‌کفو و برابر) را برگزیدند.[5]