تابع هولومورف

اگر U یک زیر مجموعهٔ باز از C و f: U → C یک تابع باشد، می‌گوییم f در نقطهٔ z_۰ از U مشتق مختلط دارد اگر حد

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

وجود داشته باشد. در اینجا حد بر روی تمام دنباله‌های اعداد مختلط که به z_۰ میل می‌کنند گرفته شده‌است، و برای تمام چنین دنباله‌هایی حد باید به عدد f '(z_۰) میل کند. به‌طور مستقیم، اگر f در z_۰ مشتق‌پذیر مختلط بوده و ما در جهت r به z_۰ نزدیک شویم، آنگاه تصاویر نقاط از جهت f '(z_۰) r به f(z_۰) نزدیک می‌شوند، که ضرب آخر ضرب اعداد مختلط است. این مفهوم مشتق‌پذیری چند خصوصیت مشترک با مشتق‌پذیری حقیقی دارد: خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می‌کند. اگر f در هر نقطه z_۰ از U مشتق‌پذیر مختلط باشد، می‌گوییم f بر U هولومورفیک است. می‌گوییم f در نقطهٔ z_۰ هولومورفیک است اگر که در یک همسایگی از z_۰ هولومورفیک باشد. می‌گوییم f در مجموعهٔ غیر باز A هولومورفیک است اگر در یک مجموعهٔ باز شامل A هولومورفیک باشد. یک تعریف معادل بدین صورت است. تابع مختلط f(x + iy) = u + iv هولومورفیک است اگر و تنها اگر در معادلات کوشی-ریمان صدق کند و u و v مشتقات جزئی اول پیوسته بر حسب x و y داشته باشند.

تمام توابع چندجمله‌ای در z با ضرایب مختلط بر C هولومورفیک‌اند، و بنابراین سینوس، کسینوس، و تابع نمایی چنین‌اند. (توابع مثلثاتی در حقیقت به‌طور نزدیک وابسته به تابع نمایی اند و به وسیلهٔ فرمول اویلر می‌توانند توسط تابع نمایی تعریف شوند). شاخهٔ اصلی تابع لگاریتم در مجموعهٔ C - {z ∈ R: z ≤ ۰} هولومورفیک است. تابع ریشه می‌تواند به صورت

${\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln z}}$

تعریف شود و بنابراین هولومورفیک است هر کجا که لگاریتم ln(z) هولومورفیک باشد. تابع ۱/z بر {z: z ≠ ۰} هولومورفیک است.

از آنجا که مشتق‌گیری مختلط خطی است و از قوانین ضرب، تقسیم، و قاعدهٔ زنجیری تبعیت می‌کند، مجموع‌ها، ضرب‌ها و ترکیب توبع هولومورفیک، هولومورفیک‌اند و خاج قسمت دو تابع هولومورفیک، هولومورفیک است هرجا که مخرج مخالف صفر باشد. هر تابع هولومورفیک بینهایت با مشتق‌پذیر در هر نقطه است. تابع هولومورفیک منطبق بر سری تیلوراش است و سری تیلور آن در هر دیسک باز که کاملاً درون دامنهٔ U قرار دارد همگراست. سر تیلور ممکن است در یک دیسک بزرگ همگرا باشد؛ برای نمونه سری تیلور تابع لگاریتم در هر دیسک که شامل ۰ نباشد همگراست، در مجاورت خط حقیقی منفی. برای اثبات به توابع هولومورفیک تحلیلی اند مراجعه کنید. اگر C را با R^۲ نشان دهیم، آنگاه توابع هولومورفیک منطبق بر آن دسته از توابع دو متغیر حقیقی اند که در معادلات کوشی-ریمان صدق می‌کنند. نزدیک نقاط با مشتقاط غیر صفر، توابع هولومورفیک همنوایند به این معنی که آن‌ها زاویه و شکل (ولی نه اندازه) اشکال کوچک را حفظ می‌کنند. فرمول انتگرال کوشی می‌گوید که هر تابع هولومورفیک درون یک دیسک تماماً با مقادیرش روی حاشیهٔ دیسک مشخص می‌شود. از دید جبری مجموعهٔ توابع هولومورفیک بر یک مجموعهٔ باز یک حلقهٔ جابجایی و یک فضای برداری مختلط‌اند.

مفهوم تابع هولومورفیک می‌تواند به فضاهای متناهی-بعد از آنالیز تابعی گسترش داده شود.

امروزه، اکثر ریاضی دانان عبارت «تابع هولومورف» را به «تابع تحلیلی» ترجیح می‌دهند، نظر به اینکه عبارت دوم مفهوم کلی‌تری است. این هم‌چنینی به این دلیل است که یک نتیجهٔ مهم در آنالیز مختلط این است که هر تابع هولومورفیک به‌طور مختلط تحلیلی است، حقیقتی که مستقیماً تعاریف را دنبال نمی‌کند. با این وجود عبارت «تحلیلی» همچنان پرکاربرد است. کلمهٔ «هولومورف» از کلمهٔ یونانی «اُلُس» (ὅλος)، به معنی «همه»، و «مُرفِه» (μορφή)، به معنی «صورت» یا «ظاهر» مشتق شده‌است.

• تابع مرومورفیک
• تابع تام