مجموعه باز
مجموعه باز مجموعه‌ای است که هیچ یک از نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شود. متمم هر مجموعه باز یک مجموعه بسته است و برعکس. مجموعه‌هایی هستند که نه بازند و نه بسته، یعنی نه هیچکدام و نه همهٔ نقاط مرزی خود را شامل نمی‌شوند.
در شکل، مجموعه نقاط (x, y) که در x۲ + y۲ < r۲ صدق می‌کنند با رنگ قرمز مشخص شده که تشکیل یک مجموعهٔ باز را می‌دهد. (x, y)هایی که در x۲ + y۲ = r۲ صدق می‌کنند نیز نقاط مرزی هستند که با رنگ آبی مشخص شده‌اند. اجتماع نقاط آبی (نقاط مرزی) و نقاط قرمز (مجموعه باز) تشکیل یک مجموعه بسته می‌دهد.
تعریف
به‌طور کلی مجموعه‌های باز به دو صورت تعریف می‌شوند. براساس تعریف نخست یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هیچکدام از نقاط مرزی خود را شامل نشود و بر طبق تعریف دوم یک مجموعه باز است اگر و تنها اگر هر یک از نقاطش نقطه درونیش باشد. ثابت می‌شود که این دو تعریف معادلند.
در توپولوژی
اگر X فضایی توپولوژیک با توپولوژی باشد، زیر مجموعه U از X را یک مجموعهٔ باز X خوانیم هرگاه U متعلق به باشد.
قضیه‌ها
- اجتماع تعداد دلخواه از مجموعه‌های باز، باز است.
- اشتراک تعداد متناهی از مجموعه‌های باز، باز است.
- هر فضای توپولوژیک هم باز است و هم بسته.
- مجموعه تهی هم باز و هم بسته است.
مثال‌ها
- بر خط حقیقی، بازهٔ (–۱ و ۳) یا مجموعهٔ اعداد حقیقی بین ۱– و ۳، باز است. زیرا دو نقطهٔ ۱– و ۳ که نقاط مرزی این مجموعه هستند عضو آن نمی‌باشند. همچنین تمام نقاط این مجموعه (بازه) نقاط درونی هستند.
منابع
- براون، جیمز وارد؛ چرچیل، روئل ونس (۱۳۹۰). متغیرهای مختلط و کاربردهای آن. ترجمهٔ امیر خسروی. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰.
- مانکرز، جیمز ر. (۱۳۸۹). توپولوژی، نخستین درس. ترجمهٔ جواد لالی و دیگران. تهران: مرکز نشر دانشگاهی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۲۸۳-۱.
- مصاحب، غلامحسین (۱۳۸۱). آنالیز ریاضی. اول. تهران: امیرکبیر. شابک ۹۶۴-۰۰-۰۶۳۰-۰.
| شاخه‌ها |  | |
|---|---|---|
| مفاهیم کلیدی |
| |
| ||
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.