اعداد اول فیبوناتچی

${\displaystyle 3,5,7,13,17,23,29,43,47,83,131,137,359,431,433,449,509,569,571,2971,4723}$

یکی از مسایل حل نشده ریاضیات این است که آیا تعداد اعداد اول فیبوناچی بی نهایت است یا نه؟

می دانیم که جمله عمومی اعداد فیبوناتچی به شکل زیر است:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\,,}$

همچنین هم ارزی زیر برای جمله عمومی اعداد اول صادق است.

${\displaystyle P(n)\sim \ n\ln(n)}$

و می دانیم که جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی از اشتراک جمله عمومی اعداد اول و اعداد فیبوناتچی به دست می‌آید یعنی:

${\displaystyle F_{P_{n}}=F_{n}\cap P_{n}}$

پس برای بدست آوردن جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی باید معادله زیر را حل کرد

${\displaystyle P_{n}=F_{n}}$

که از آن نتیجه می‌شود.

${\displaystyle n=P^{-1}\left(\,F_{n}\,\right)=\pi (F_{n})}$

پس جواب معادله ما که همان جمله عمومی اعداد اول فیبوناتچی است برابر با ${\displaystyle \pi (F_{n})}$ است یعنی:

${\displaystyle F_{P_{n}}=\pi (F_{n})}$

می دانیم:${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}$

پس اگر قرار باشد تعداد اعداد اول فیبوناتچی بی‌نهایت باشد آنگاه:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{P_{n}}}{\frac {F_{n}}{ln(F_{n})}}}=1}$

و می دانیم: ${\displaystyle F_{n}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}\ }$

پس

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{P_{n}}}{\frac {{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}{ln({{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}})}}}=1}$

پس:

${\displaystyle {F_{P_{n}}}\sim \ {\frac {{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}{ln({{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}})}}}$

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fibonacci prime». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

«اعداد فیبوناتچی بدست می‌آیند از یک تقسیم طولانی» عباس روح الامینی، مجله علمی اسپکتروم انگلستان، آگوست ۲۰۰۸