اعداد اول دوقلو

اعداد اول دوقلو به اعداد اولی می‌گویند که فاصله آن‌ها دو واحد است. یعنی: ${\displaystyle p_{k+1}-p_{k}=2}$

برای مثال:

${\displaystyle {(5,7)}}$ ${\displaystyle {(11,13)}}$ ${\displaystyle {(17,19)}}$ ${\displaystyle {(29,31)}}$

طبق قضیه ویلسون:

${\displaystyle \;(p_{k}-1)!\equiv -1{\pmod {p_{k}}}}$

${\displaystyle \;(pazlir)!\equiv -1{\pmod {p_{k+1}}}}$

و می‌دانیم: ${\displaystyle p_{k+1}-p_{k}=2}$

پس:

یکی از مسایل حل نشده ریاضیات این است که:

مسئلهٔ حل نشدهٔ ریاضیات: آیا تعداد اعداد اول دوقلو نامتناهی است? (مسائل حل نشدهٔ دیگر در ریاضیات)

ریاضیدانان طی چند قرن اخیر فرضیه ای را در خصوص اعداد اول دوقلو مطرح کرده‌اند که نشان می‌دهد، تعداد نامتناهی از این جفت اعداد اول وجود دارند، اما این مسئله تاکنون اثبات نشده‌است.

دستاورد ریاضی‌دانی به نام دکتر «ییتانگ ژانگ» نشان می‌دهد، مهم نیست که عدد اول دوقلو چقدر بزرگ باشد، چراکه همیشه یک جفت عدد اول دیگر هست که از آن با کمتر از ۷۰ میلیون رقم جدا شده‌است.

اگرچه این تحقیق به‌طور قطعی وجود تعداد نامتناهی اعداد اول دوقلو را نشان نمی‌دهد، اما گام مهمی برای اثبات این مسئله محسوب می‌شود.

در سال ١٩٤٠،پال اِردوش نشان داد که یک ثابت مانند ${\displaystyle c>1}$ و بی نهایت عدد اول مانند${\displaystyle p_{n}}$ وجود دارد به طوری که:

${\displaystyle {p_{n+1}-p_{n}<c.log(p_{n})}}$

این به آن معنی است که هر چقدر که اعداد اول،بزرگ و بزرگ تر شوند،فاصله ی بین آنها نیز به آرامی رشد می کند."رشد آرام" یعنی این فاصله ها به صورت لگاریتمی رشد می کنند.این نتیجه پی در پی بهبود یافت؛در سال ١٩٨٦،هِلموت مایِر ثابت اِردوش را به ${\displaystyle c>1/4}$ تعمیم داد.در سال ٢٠٠٤ دنیِل گُلدِستِن و جِم یِلدیریم نشان دارند که این ثابت می توانید به ${\displaystyle c>0.085876}$ برسد.در سال ٢٠٠٥،گُلدِستِن،جوناس پینتز و یِلدیریم اشاره کردند که c می تواند به دلخواه کوچک باشد.

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=0.}$

با در نظر گرفتن حدس اِلیوت-هالبرستام و یا حدس ضعیف تری از آن،می توان نشان داد برای بی شمار n،حداقل دو تا از اعداد n, n+2, n+6, n+8, n+12, n+18, n+20 اول است. با استفاده از یک حدس قویتر می توان نشان داد که برای بی شمار n،حداقل دو تا از اعداد n ,n+2 ,n+4 ,n+6 اول هستند.