اصول احتمال

گزاره: اگر ${\displaystyle \quad A\subseteq B\quad }$ آنگاه ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$

اثبات: چون ${\displaystyle \quad A\subseteq B\quad }$ است پس می توان ${\displaystyle B}$ را به صورت ${\displaystyle B=A\cup (A'\cap B)}$ نوشت و چون این دو پیشامد ناسازگار هستند بنا بر اصل 3 داریم:

${\displaystyle P(B)=P(A)+P(A'\cap B)}$

و بنا بر اصل 1 چون ${\displaystyle P(A'\cap B)\geq 0}$ نتیجه به دست می آید (منظور از ${\displaystyle A'}$ متمم ${\displaystyle A}$است).

گزاره: اگر ${\displaystyle F}$ فضای نمونه و ${\displaystyle \emptyset }$ نشان دهنده پیشامد تهی باشد آنگاه

${\displaystyle P(\emptyset )=0}$

اثبات: می دانیم ${\displaystyle F\cup \emptyset =F}$ و دو پیشامد ناسازگار هستند پس بنا بر اصل 2و 3 داریم

${\displaystyle P(F\cup \emptyset )=P(F)+P(\emptyset )=1\Rightarrow \;P(\emptyset )=0}$

گزاره: اگر ${\displaystyle A}$ پیشامدی از فضای نمونه ${\displaystyle F}$ باشد آنگاه داریم

${\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}$

اثبات:

${\displaystyle \emptyset \subseteq A\subseteq F\Rightarrow \;P(\emptyset )\leq P(A)\leq P(F)\Rightarrow \;0\leq P(A)\leq 1}$

گزاره:اگر ${\displaystyle A}$ پیشامدی از فضای نمونه ${\displaystyle F}$ و ${\displaystyle A'}$ متمم پیشامد ${\displaystyle A}$ باشد آنگاه

${\displaystyle P(A')=1-P(A)}$

اثبات:

${\displaystyle A\cup A'=F\Rightarrow \;P(A\cup A')=P(F)\Rightarrow \;P(A)+P(A')=1\Rightarrow \;P(A')=1-P(A)}$

گزاره: اگر ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ دو پیشامد از فضای نمونه ${\displaystyle F}$ باشد آنگاه

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

اثبات:

${\displaystyle (A\cup B)=A\cup (A'\cap B)\Rightarrow \;P(A\cup B)=P(A)+P(A'\cap B)}$

${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (A'\cap B)\Rightarrow \;P(B)=P(A\cap B)+P(A'\cap B)\Rightarrow \;P(A'\cap B)=P(B)-P(A\cap B)}$

با استفاده از نتایج به دست آمده در دو سطر بالا داریم

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

حکم ثابت می شود[1][2].

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_axioms&oldid=518152073}"Wikipedia، The Free Encyclopedia