ارتفاع (مثلث)

برای هر مثلثی با اضلاع a, b، c و نصف محیط برابر با s = (a+b+c) / 2 طول ارتفاع رسم شده از رأس a برابر است با:

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

این نتیجه از فرمول هرون بدست آمد.

فرض کنید مثلثی با اضلاع a, b، c و ارتفاع‌های h_a, h_b, و h_c داریم. اگر شعاع دایرهٔ محاطی را r بنامیم، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

اگر ارتفاع رسم شده از یک رأس را h_a، دو ضلع دیگر را به ترتیب b و c و شعاع دایرهٔ محیطی را R بنامیم. آنگاه داریم:[1]^{:p. 71}

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

اگر p₁, p₂, و p₃ به ترتیب فاصلهٔ نقطهٔ دلخواه P از اضلاع مثلث باشند و h₁, h₂, و h₃ شعاع‌های متناظر باشند، آنگاه رابطهٔ زیر درست خواهد بود:[1]^{:p. 74}

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

اگر ارتفاع‌های رسم شده از رأس‌های a, b و c به ترتیب ${\displaystyle h_{a}}$, ${\displaystyle h_{b}}$, و ${\displaystyle h_{c}}$ باشند با فرض داشتن ${\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}$، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:[2]

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

اگر E نقطه‌ای دلخواه بر روی ارتفاع AD از مثلث ABC باشد آنگاه:[3]^:77–78

${\displaystyle AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}}$

برای هر نقطهٔ دلخواه P در یک مثلث متساوی‌الاضلاع، مجموع خط‌های عمود رسم شده از آن نقطه بر روی اضلاع مثلث برابر است با طول ارتفاع مثلث. به این مطلب، قضیهٔ ویویانی می‌گویند.

در یک مثلث قائم‌الزاویه، با فرض ارتفاع‌های h_a, h_b, و h_c (واضح است که دو ارتفاع خود همان دو ضلع مثلث اند) رابطهٔ زیر میان سه ارتفاع مثلث برقرار است:[4][5]

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.}$

به محل همرسی ارتفاع‌ها مرکز ارتفاعی مثلث گویند(${\displaystyle H}$). خط اویلر مثلث از مرکز ارتفاعی نیز می‌گذرد.

مثلث abc مثلث پادک ABC است

اگر محل برخورد ارتفاع‌ها با اضلاع به‌ترتیب ${\displaystyle a,b,c}$ باشد، مثلث ${\displaystyle abc}$ مثلث پادک می‌گوییم. ارتفاع‌های مثلث، نیمساز‌های مثلث پادک هستند، و مرکز ارتفاعیِ مثلث، مرکز دایره محاطی مثلث پادک است.