فرمول هرون

این فرمول به صورت زیر بیان شده‌است:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

در اینجا،p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث و S نشانه مساحت مثلث می‌باشند.

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}.}$[1]

فرمول هرون به روش‌های زیر نیز می‌تواند نوشته شود

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}.}$

فرض کنیم△ABC مثلثی باشد با اضلاع a = ۴, b = 13 and c = ۱۵. \پس در اینجا نصف محیط مثلث یا p برابر است با P = 1/2(a + b + c) = 1/2(4 + 13 + 15) = 16, S = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} و S=24

در این مثال اندازه هر ضلع مثلث به صورت عدد صحیح وارد شده‌است، با این حال فرمول هرون برای مثلهایی که یک یا هر سه ضلع آن از اعداد غیر صحیح و اعشاری باشد نیز کاربرد دارد.

با استفاده از جبر و قوانین نسبت‌های مثلثاتی می‌توان این فرمول را اثبات کرد. این اثبات با اثباتی که هرون در کتابش (متریکا) در سال ۶۰ ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است. مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می‌گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است. طبق قانون کسینوس‌ها از قانونی از کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم که به اضلاع مثلث مرتبط باشد و متغیرهای اضلاع ان مثلث دران حضور داشته باشد زیرا می‌خواهیم با استدلال استنتاجی از اضلاع مثلث، مساحت آن را نتیجه بگیریم و کسینوس هر زاویه برابر است با: مجموع مربعات دو ضلعی که زاویه بین ان است منهای مربع ضلع دیگر تقسیم بر؛ ۲ برابر ضرب دو ضلعی که زاویه مورد نظر بین ان دو می‌باشد و به بیان ریاضی داریم: ضمناً مجموع مربع سینوس یک زاویه با مربع کسینوس همان زاویه برابر است با یک و از طریق همین رابطه سینوس بر حسب مربع کسینوس بدست می‌آید (رابطه دومی که در زیر ملاحظه می‌کنید)

${\displaystyle \cos {\widehat {C}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

${\displaystyle \sin {\widehat {C}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\widehat {C}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}$

مساحت مثلث را با T نشان می‌دهیم. در این روش از طریق رابطه سینوس و کشیدن یک مثلث با یک ارتفاع و نوشتن رابطه مساحت مثلث یعنی قاعده ضربدر ارتفاع تقسیم بر ۲ و ادغام این‌ها باهم رابطه را نتیجه گرفته می شود که همان رابطه زیر است:

${\displaystyle {\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {C}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(c-(a-b))}{2}}{\frac {(c+(a-b))}{2}}{\frac {((a+b)-c)}{2}}{\frac {((a+b)+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.\end{aligned}}}$

p یک نماد قراردادی است که همان نصف محیط مثلث است و قرار داد می‌شود که نصف محیط مثلث را p بنامیم پس اگر این حرف را عوض کنیم اشکال ندارد فقط باید بدانیم منظور همان نصف محیط مثلث است. ضمناً از روش‌های مربع کامل سازی و اتحاد مزدوج استفاده شده‌است. همان‌طور که گفته شد ما می‌خواستیم مساحت را با استفاده از اضلاع بدست آوریم (بدون داشتن ارتفاع) پس از قوانینی و روابطی استفاده کردیم که در بر دارنده متغیرهای اضلاع باشد یعنی در ان روابط، اضلاع مثلث وجود داشته باشد بنابراین به سراغ نسبت‌های مثلثاتی و اتحادهای آن‌ها رفتیم که به خوبی پاسخگوی نیازهای ما در قبال سوالات ریاضی در مبحث مثلثات باشد. حال شاید پرسش شما این باشد که چرا از آن اتحاد مجموع مربع سینوس و مربع کسینوس استفاده شده، در پاسخ به این سؤال باید بگویم این تنها اتحاد ساده و خوبی است که مارا در حل مسئله و ادغام روابط بالا کمک می‌کند و البته می‌شود از اتحادهای دیگر نیز کمک گرفت. این اتحاد به خوبی دو نسبت مهم و اساسی در این فرمول را پوشش می‌دهد و ساده‌تر می‌توان به نتیجه رسید یعنی بدون سر در گمی و زیاد شدن محاسبات.

• ریاضیات دوم دبیرستان رشته ریاضی تجربی چاپ ۹۳–۹۴ - ریاضیات دوم دبیرستان انتشارات الگو چاپ ۹۳ نوشته علیرضا رفیعی.