نمایش گروه

• فرض کنید ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$، ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\}}$ و ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{2}}$ و تعریف کنید:

${\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u\\\end{pmatrix}},\qquad \rho (2)={\begin{pmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{pmatrix}}.}$ که در اینجا ${\displaystyle u=e^{\frac {2\pi i}{3}}}$.

• فرض کنید ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$، ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}}$ و ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ و تعریف کنید:

${\displaystyle \rho (0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$ و ${\displaystyle \rho (1)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\\1&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}$

اگر ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ و ${\displaystyle \beta :G\to GL(W)}$ دو نمایش یک گروه ${\displaystyle G}$ روی فضاهای برداری ${\displaystyle V}$و ${\displaystyle W}$ باشند، این دو نمایش را یکریخت مینامیم اگر یکریختی ${\displaystyle \kappa :V\to W}$ موجود باشد به گونه ای که : ${\displaystyle \kappa \circ \rho (g)\circ \kappa ^{-1}=\beta (g)}$ برای هر ${\displaystyle g\in G}$.

همچنین فرض کنید ${\displaystyle \rho _{1}:G\to GL(V)}$ و ${\displaystyle \rho _{2}:G\to GL(W)}$ دو نمایش گروه ${\displaystyle G}$ هستند، آنگاه می‌توان نمایشی روی جمع مستقیم ${\displaystyle V\oplus W}$ بدینگونه تعریف نمود: ${\displaystyle \rho (g)=\rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)}$ ,${\displaystyle \rho :G\to GL(V\oplus W)}$. در اینجا، منظور از ${\displaystyle \rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)}$ نگاشتی است که به صورت مؤلفه ای روی ${\displaystyle V\oplus W}$ عمل می‌کند، به سخن دیگر: ${\displaystyle \rho _{1}(g)+\rho _{2}(g)(v+w)=\rho _{1}(g)v+\rho _{2}(g)w}$ برای هر ${\displaystyle v\in V}$ و ${\displaystyle w\in W}$.