معادله دیفرانسیل خطی

یک عملگر اساسی دیفرانسیلی مرتبه i یک نماد است که هر تابع مشتق پذیر را با مشتق مرتبه i آن، یا در مورد چندین متغیر، به یکی از مشتقات جزئی آن از مرتبه i. مشخص می‌کند. این نماد به شکل زیر است:

${\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}}$

در مورد توابع تک متغیری و به شکل زیر:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}}$

در مورد توابعی با n متغیر. اپراتورهای اساسی دیفرانسیل شامل مشتق مرتبه ۰ خود تابع است.

یک عملگر دیفرانسیل خطی (به‌طور خلاصه، در این مقاله، به عنوان اپراتور خطی یا به سادگی، عملگر) ترکیبی خطی از عملگرهای اساسی دیفرانسیلی است با توابع مشتق پذیر به عنوان ضرایب. در حالت تک متغیره، یک عملگر خطی فرمی بدین ترتیب را دارد[1]

${\displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$

جایی که a_nها توابع مشتق پذیری هستند، و عدد صحیح غیر منفی n مرتبه عملگر است (اگرa_(n تابع صفر نباشد)

یک معادله دیفرانسیل در صورت داشتن فرم زیر یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت است:

${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$

که a_n ها اعداد (حقیقی یا مختلط) هستند به عبارت دیگر، اگر توسط اپراتور خطی با ضرایب ثابت تعریف شود، ضرایب مقادیر ثابتی دارد.

معادله غیر همگن از درجه n با ضرایب ثابت به شکل زیر نوشته می‌شود:

${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),}$

که a_n ها اعداد حقیقی یا مختلط هستند، f یک تابع داده شده از x، و y تابعی مجهول است.

فرم کلی یک معادله خطی دیفرانسیل معمولی از مرتبه اول پس از تقسیم بر ضریب 'y:

${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$

در مورد معادله همگن (یعنی g(x) تابع صفر است):

${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=f,}$

که می‌تواند به راحتی با انتگرال به شکل زیر حل شود

${\displaystyle \log y=k+F,}$

که در آن k ثابت انتگرال است و

${\displaystyle F=\int fdx}$

یک پاد مشتق از f است؛ بنابراین، راه حل کلی معادله همگن به صورت:

${\displaystyle y=ce^{F},}$

جایی که c یک ثابت دلخواه است.

سیستم معادلات دیفرانسیل خطی شامل چندین معادله دیفرانسیل خطی است که شامل چندین تابع مجهول است. به‌طور کلی، یک مطالعه را به سیستمهایی محدود می‌کند که تعداد توابع ناشناخته با تعداد معادلات برابر باشد.

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\\vdots &\\y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}}$

غیرممکن بودن حل توسط کوادراتور را می‌توان با قضیه آبل-رافینی به دست آورد، که بیان می‌کند معادله جبری درجه ۵ حداقل، به‌طور کلی توسط رادیکال‌ها قابل حل نیست. این قیاس به روشهای اثباتی گسترش می‌یابد و انگیزه ای برای تئوری گالوی دیفرانسیل فراهم می‌کند.

مشابه مورد جبری، این تئوری تصمیم می‌گیرد که چه معادلات را می‌توان با روش quadrature حل کرد. با این حال محاسبات لازم حتی با قدرتمندترین رایانه‌ها بسیار دشوار است. در حالت کلی پیچیدگی این معادلات ممکن است سبب شود آن هارا با روش‌های غیر صریح و تقریبی مانند مش بندی حل کنیم.

یک تابع هولونومیک، که تابع محدود دی نیز نامیده می‌شود تابعی است که از حل یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب چند جمله ای به دست می‌آید.

اکثر توابعی که معمولاً در ریاضیات مورد توجه قرار می‌گیرند هولونومیک از نسبت توابع هولونومیک به‌شمار می‌آیند. در حقیقت، توابع هولونومیک شامل چند جمله ای، توابع جبری، لگاریتم، توابع نمایی، سینوسی، کسینوسی، توابع مثاثاتی، تاوابع هذلولوی، توابع معکوس مثلثاتی تابع وارون هذلولوی و بسیاری از تابع‌های ویژه مانند توابع بسل و توابع هایپرژومتریک است.

• وام بازپرداخت مداوم
• تبدیل فوریه
• تبدیل لاپلاس
• معادله اختلاف خطی
• تنوع پارامترها

• Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
• Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4 Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
• Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0 Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

• http://eqworld.ipmnet.ru/fa/solutions/ode.htm
• دیکشنری پویا از تابع ریاضی. مطالعه خودکار و تعاملی بسیاری از توابع هولونومیک.